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        1. 已知圓C:x2+(y-1)2=1和圓C1:(x-2)2+(y-1)2=1,現(xiàn)在構(gòu)造一系列的圓C1,C2,C3,…,Cn,…,使圓Cn+1同時(shí)與Cn和圓C都相切,并都與OX軸相切.回答:
          (1)求圓Cn的半徑rn;
          (2)證明:兩個(gè)相鄰圓Cn-1和Cn在切點(diǎn)間的公切線長(zhǎng)為
          1
          C
          2
          n
          ;
          (3)求和
          lim
          n→∞
          (
          1
          C
          2
          2
          +
          1
          C
          2
          3
          +…+
          1
          C
          2
          n
          )
          分析:(1)利用ECn-1=AB=ACn+BCn,建立等式,可得{
          1
          rn
          }成等差數(shù)列,由此可得結(jié)論;
          (2)利用勾股定理可求兩個(gè)相鄰圓Cn-1和Cn在切點(diǎn)間的公切線長(zhǎng);
          (3)利用裂項(xiàng)法求和,再求極限即可.
          解答:(1)解:如圖,在直角梯形ODCn-1C中,AC=1-rn,CCn=1+rn,CCn-1=1+rn-1,CnCn-1=rn+rn-1.Cn-1B=rn-1-rn.…(2分)
          ∴有ACn=
          (1+rn)2-(1-rn)2
          BCn=
          (rn-1+rn)2-(rn-1-rn)2
          ,ECn-1=
          (1+rn-1)2-(1-rn-1)2
          ,ECn-1=AB=ACn+BCn
          (1+rn)2-(1-rn)2
          +
          (rn-1+rn)2-(rn-1-rn)2
          =
          (1+rn-1)2-(1-rn-1)2

          4rn
          +
          4rnrn-1
          =
          4rn-1
          .即
          rn-1
          -
          rn
          =
          rnrn-1
          .…(4分)
          由此可得
          1
          rn
          -
          1
          rn-1
          =1

          ∴{
          1
          rn
          }成等差數(shù)列,…(6分)
          ∵r1=1,∴
          1
          rn
          =
          1
          r1
          +(n-1)×1=n
          ,∴rn=
          1
          n2
          .…(8分)


          (2)證明:公切線長(zhǎng)為ln=
          (rn+rn-1)2-(rn-1-rn)2
          =2
          rn-1rn
          =
          2
          (n-1)n
          =
          1
          C
          2
          n
          .…(11分)
          (3)解:
          1
          C
          2
          2
          +
          1
          C
          2
          3
          +…+
          1
          C
          2
          n
          =2(1-
          1
          2
          )+2(
          1
          2
          -
          1
          3
          )+…+2(
          1
          n-1
          -
          1
          n
          )
          =2(1-
          1
          n
          )

          lim
          n→∞
          (
          1
          C
          2
          2
          +
          1
          C
          2
          3
          +…+
          1
          C
          2
          n
          )
          =2.…(14分)
          點(diǎn)評(píng):本題考查等差數(shù)列的判定,考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和,考查直線與圓的位置關(guān)系,考查極限的求解,屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知圓C:x2+(y-1)2=5,直線l:mx-y+1-m=0
          (1)求證:直線l恒過(guò)定點(diǎn);
          (2)設(shè)l與圓交于A、B兩點(diǎn),若|AB|=
          17
          ,求直線l的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知圓C:x2+(y-3)2=4,一動(dòng)直線l過(guò)A (-1,O)與圓C相交于P、Q兩點(diǎn),M是PQ中點(diǎn),l與直線x+3y+6=0相交于N,則|AM|•|AN|=
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知圓C:x2+(y-2)2=1
          (1)求與圓C相切且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程;
          (2)和圓C外切且和直線y=1相切的動(dòng)圓圓心軌跡方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知圓C:x2+(y-1)2=5,直線l:mx-y+1-m=0,
          (1)求證對(duì)m∈R,直線l和圓C總相交;
          (2)設(shè)直線l和圓C交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)|AB|取得最大值時(shí),求直線l的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知圓C:x2+(y-1)2=5,直線l:mx-y+1-m=0
          (1)求證:對(duì)m∈R,直線l與C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
          (2)設(shè)l與C交于A、B兩點(diǎn),若|AB|=
          17
          ,求l的方程;
          (3)設(shè)l與C交于A、B兩點(diǎn)且kOA+kOB=2,求直線l的方程.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案