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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          已知橢圓的中心在坐標原點O,焦點在坐標軸上,直線y=x+1與該橢圓相交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=
          10
          2
          .求橢圓的方程.
          分析:先設橢圓方程的標準形式,然后與直線方程聯立消去y,得到兩根之和、兩根之積的關系式,再由OP⊥OQ,|PQ|=
          10
          2
          可得到兩點坐標的關系式,然后再與兩根之和、兩根之積的關系式聯立可求a,b的值,從而可確定橢圓方程.
          解答:解:設所求橢圓方程為
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1.

          依題意知,點P、Q的坐標滿足方程組
          ①②
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          y=x+1.

          將②式代入①式,整理得
          (a2+b2)x2+2a2x+a2(1-b2)=0,③
          設方程③的兩個根分別為x1,x2,那么直線y=x+1與橢圓的交點為P(x1,x1+1),Q(x2,x2+1).
          由題設OP⊥OQ,|PQ|=
          10
          2
          ,可得
          x1+1
          x1
          x2+1
          x2
          =-1
          (x2-x1)2+[(x2+1)-(x1+1)]2=(
          10
          2
          )2.

          整理得
          ④⑤
          (x1+x2)+2x1x2+1=0
          4(x1+x2)2-16x1x2-5=0.

          解這個方程組,得
          x1x2=
          1
          4
          x1+x2=-
          3
          2
          x1x2=-
          1
          4
          x1+x2=-
          1
          2
          .

          根據根與系數的關系,由③式得
          (Ⅰ)
          2a2
          a2+b2
          =
          3
          2
          a2(1-b2)
          a2+b2
          =
          1
          4
          或(Ⅱ)
          2a2
          a2+b2
          =
          1
          2
          a2(1-b2)
          a2+b2
          =-
          1
          4
          .

          解方程組(Ⅰ),(Ⅱ),得
          a2=2
          b2=
          2
          3
          a2=
          2
          3
          b2=2.

          故所求橢圓的方程為
          x2
          2
          +
          y2
          2
          3
          =1
          ,或
          x2
          2
          3
          +
          y2
          2
          =1.
          點評:本題主要考查直線與橢圓的綜合題.直線與圓錐曲線的綜合題一般是將兩方程聯立消去x或y得到一元二次方程,然后表示出兩根之和、兩根之積,再由題中條件可解題.
          練習冊系列答案
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          科目:高中數學 來源: 題型:

          精英家教網已知橢圓的中心在坐標原點O,焦點在x軸上,短軸長為2,且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點.過右焦點F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P,Q兩點.
          (1)求橢圓的方程;
          (2)當直線l的斜率為1時,求△POQ的面積;
          (3)在線段OF上是否存在點M(m,0),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知橢圓的中心在坐標原點,且經過點M(1,
          2
          5
          5
          )
          ,N(-2,
          5
          5
          )
          ,若圓C的圓心與橢圓的右焦點重合,圓的半徑恰好等于橢圓的短半軸長,已知點A(x,y)為圓C上的一點.
          (1)求橢圓的標準方程和圓的標準方程;
          (2)求
          AC
          AO
          +2|
          AC
          -
          AO
          |
          (O為坐標原點)的取值范圍;
          (3)求x2+y2的最大值和最小值.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在x軸上,橢圓上點P(3
          2
          ,4)
          到兩焦點的距離之和是12,則橢圓的標準方程是
           

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在x軸上,焦距為6
          3
          ,且橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為12,則橢圓的方程為
          x2
          36
          +
          y2
          9
          =1
          x2
          36
          +
          y2
          9
          =1

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知橢圓的中心在坐標原點O,焦點在x軸上,離心率為
          2
          2
          ,坐標原點O到過右焦點F且斜率為1的直線的距離為
          2
          2

          (1)求橢圓的方程;
          (2)設過右焦點F且與坐標軸不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點,在線段OF上是否存在點M(m,0),使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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