Question

【題目】在三棱柱中，側(cè)面為矩形， ， ， 為的中點(diǎn)， 與交于點(diǎn)， 側(cè)面.

（1）證明： ；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：

(1)利用題意首先證得： 平面，結(jié)合線面垂直的定義有： .

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，由空間坐標(biāo)系求解直線與平面所成角的正弦值為.

試題解析：

證明：（1）由題意可知，在中， ，

在中， ，

又因?yàn)?/span>， ，所以，

所以，

所以，

又側(cè)面，且側(cè)面，∴，

又與交于點(diǎn)，所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，所以.

解：（2）如圖所示，以為原點(diǎn)，分別以， ， 所在的直線為軸， 軸， 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則， ， ， ， .

又因?yàn)?/span>，所以，

所以， ， ，

設(shè)平面的法向量為，

則由，得，

令，則， ， 是平面的一個(gè)法向量.

設(shè)直線與平面所成的角為，

則，

故直線與平面所成角的正弦值為.