Question

記關于x的不等式

x-a

x+1

＜0的解集為P，不等式（1+x）（1-|x|）≥0的解集為Q
（1）若a=2，求集合P，Q和P∩Q；
（2）若P∪Q=Q，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a=2代入

x-a

x+1

＜0，得

x-2

x+1

＜0，根據積商符號法則即可求解該不等式求出集合P，再解含絕對值的不等式得出Q，最后求出它們的交集即可；
（2）利用（1）中結論，根據P∪Q=Q得到P⊆Q，列出關于a的不等式，解此不等式即可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）a=2代入

x-a

x+1

＜0，得

x-2

x+1

＜0，
所以P={x|-1＜x＜2}（4分），
不等式（1+x）（1-|x|）≥0?

x≥0 (1+x)(1-x)≥0

或

x＜0 (1+x)(1+x)≥0

解得：0≤x≤1或x＜0．
∴Q={x|x≤1}；
P∩Q={x|-1＜x≤1}；
（2）Q={x|x≤1}（6分）
①當a＞-1時，∴P={x|-1＜x＜a}（8分）
∵P∪Q=Q，∴P⊆Q（10分）
所以-1＜a≤1，
②當a=-1時，∴P=∅，
∵P∪Q=Q，∴P⊆Q
所以a=-1，
③當a＞-1時，∴P={x|a＜x＜-1}（14分）
∴P⊆Q，有P∪Q=Q，
∴所以a＜-1，
綜上所述，a的取值范圍a≤1．（16分）

點評：此題是個中檔題．考查不等式解法和集合交集與子集之間的轉化，同時考查分類討論思想、學生靈活應用知識分析解決問題能力和計算能力．