Question

若對(duì)任意的a∈R，不等式|x|+|x-1|≥|1+a|-|1-a|恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

（-∞，-

1

2

]∪[

3

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：由于|1+a|-|1-a|≤|1+a+1-a|=2，故原不等式可得|x|+|x-1|≥2．而-

1

2

、

3

2

對(duì)應(yīng)點(diǎn)到0和1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于2，由此求得|x|+|x-1|≥2的解集．

解答：解：由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得|1+a|-|1-a|≤|1+a+1-a|=2，∴由原不等式可得|x|+|x-1|≥2．
由于|x|+|x-1|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到0和1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，而-

1

2

、

3

2

對(duì)應(yīng)點(diǎn)到0和1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于2，
故|x|+|x-1|≥2的解集為（-∞，-

1

2

]∪[

3

2

，+∞），
故答案為 （-∞，-

1

2

]∪[

3

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)、絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．