Question

【題目】設(shè)．

（Ⅰ）若在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)，且，若在[1，e]上至少存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）P≥1．（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）首先求函數(shù)的導數(shù)， ，根據(jù)題意可得，當恒成立，即求的最大值， ，利用基本不等式求最大值；（Ⅱ）法一，原問題等價于 ，求的取值范圍，法二，等價于在上有解，即 ，求的取值范圍.

試題解析：解：（I）由 f（x）=px﹣﹣2lnx，

得=．

要使f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，只需f′（x）≥0，

即px2﹣2x+p≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，

從而P≥1．

（II）解法1：g（x）=在[1，e]上是減函數(shù)，

所以[g（x）]min=g（e）=2，[g（x）]max=g（1）=2e，即g（x）∈[2，2e]．

當0＜p＜1時，由x∈[1，e]，得x﹣，

故，不合題意．

當P≥1時，由（I）知f（x）在[1，e]連續(xù)遞增，f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是減函數(shù)，

∴原命題等價于[f（x）]max＞[g（x）]min=2，x∈[1，e]，

由，解得

綜上，p的取值范圍是（，+∞）．

解法2：原命題等價于f（x）﹣g（x）＞0在[1，e）上有解，

設(shè)F（x）=f（x）﹣g（x）=px﹣﹣2lnx﹣，

∵

=，

∴F（x）是增函數(shù)，

∴[F（x）]max=F（e）＞0，解得

∴p的取值范圍是（，+∞）．