Question

如圖在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°，E、F、G分別為AC，AA₁，AB的中點．
①求證：B₁C₁∥平面EFG；
②求FG與AC₁所成的角；
③求三棱錐B₁--EFG的體積．

Answer 1

分析：①欲證B₁C₁∥平面EFG，只需在平面EFG內(nèi)找一直線與B₁C₁平行，E，F(xiàn)為△AB，AC中點，則GE∥BC，從而B₁C₁∥GE，而GE?平面GEF，B₁C₁?平面GEF，滿足線面平行的判定定理所需條件；
②取A₁C₁的中點M，連接MF，GM，根據(jù)中位線可知AC₁∥MF，則∠MFG為FG與AC₁所成的角，然后在三角形MGF中求出此角即可；
③C₁與B₁到平面EFG的距離相等則VB1-EFG=VC1-EFG=VG-C1EF，然后根據(jù)GE⊥平面C₁EF可知GE為高，最后根據(jù)錐體的體積公式解之即可．

解答：解：①E，F(xiàn)為△AB，AC中點，∴GE∥BC．
∵B₁C₁∥BC，∴B₁C₁∥GE，
∵GE?平面GEF，B₁C₁?平面GEF，
∴B₁C₁∥平面EFG  
②取A₁C₁的中點M，連接MF，GM，
根據(jù)中位線可知AC₁∥MF
∴∠MFG為FG與AC₁所成的角
∵MF=

2

，GF=

3

，MG=

5

∴∠MFG=90°
∴FG與AC₁所成的角為90°．
③∵B₁C₁∥平面EFG，∴C₁與B₁到平面EFG的距離相等．  
∴VB1-EFG=VC1-EFG=VG-C1EF
∵B₁C₁⊥A₁C₁，B₁C₁⊥C₁C₁，A₁C₁∩C₁C=C₁
∴B₁C₁⊥平面C₁CA₁
∵B₁C∥GE∴GE⊥平面C₁EF
∵GE=

1

2

BC=1，SC1EF=2×2-

1

2

(1×2+1×1+1×2)=

3

2

∴VB1-EFG=

1

3

×

3

2

=

1

2

點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及異面直線所成角和體積的度量，屬于中檔題．