Question

平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)A（1，0）、B（0，-2），點(diǎn)C滿足，其中，且
（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)C的軌跡與雙曲線交于兩點(diǎn)M、N，且以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，若雙曲線的離心率不大于，求雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

（1）點(diǎn)C的軌跡方程為；（2）雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)的取值范圍是（0，1]．

(1)設(shè)C（x，y），根據(jù)，用表示x,y，再利用，可得x,y滿足的關(guān)系式，即點(diǎn)C的軌跡方程.
(2)點(diǎn)C的軌跡方程與雙曲線方程聯(lián)立消去y后得到,
然后把題目條件以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為再坐標(biāo)化得，即，借助韋達(dá)定理可得到和的關(guān)系式，從而再借助的取范圍，確定出a的取值范圍，問(wèn)題得解.
解：設(shè)C（x，y），因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823230832983837.png" style="vertical-align:middle;" />，則
即
由，得，即點(diǎn)C的軌跡方程為……4分
（2）由，得
依題意知，設(shè)
則
因?yàn)橐訫N為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，所以
即，即
得，得……………8分
∵，∴，∴
又，∴，∴，從而
∴雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)的取值范圍是（0，1]．……………12分