Question

一個三棱錐鐵框架的棱長均為2，其內(nèi)置一氣球，使其充氣至盡可能的膨脹（保持球的形狀），則此球的表面積為（　�。�

• A、

  2π

  3

• B、2π
• C、3π
• D、6π

Answer 1

分析：畫出圖形，通過求解AE，OS，OE，求出正四面體的內(nèi)接球的半徑，即可求解球的表面積．

解答：解：∵一個三棱錐鐵框架的棱長均為2，幾何體的正四面體，
如圖：球的球心O在底面ABC的中心E與S的連線上，并且AO=OS，
∵一個三棱錐鐵框架的棱長均為2，∴SA=SB=SC=AB=AC=BC=2，
∴D為BC的中點(diǎn)，AD=

3

，AE=

2 3

3

，SE=

SA2-AE2

=

22-( 2 3 3 )2

=

2 6

3

；
球的半徑為r，OA=

1+r2

，OE=SE-OS=SE-OA=

2 6

3

-

1+r2

，
AO²=OE²+AE²，
∴1+r2=(

2 6

3

-

1+r2

)2+(

2 3

3

)2，
解得r=

2

2

∴所求球的表面積S=4πr²=4π×(

2

2

)2=2π．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查球的表面積的求法，幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力以及計算能力．