Question

（2012•許昌縣一模）選修4一5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|．
（I）若a=-1，解不等式，f（x）≥3；
（II）如果對于任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x）≥2成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|，知當(dāng)a=1時，不等式f（x）≥3等價于|x-1|+|x+1|≥3，根據(jù)絕對值的幾何意義能求出不等式f（x）≥3的解集．
（II）對?x∈R，f（x）≥2，只需f（x）的最小值大于等于2．當(dāng)a≥1時，f（x）=|x-1|+|x-a|=

2x-a-1，x≥a a-1，1≤x＜a -2x+a+1，x＜1

，f（x）_min=a-1．同理，得當(dāng)a＜1時，f（x）_min=1-a，由此能求出a的取值范圍．

解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|，
∴當(dāng)a=1時，不等式f（x）≥3等價于|x-1|+|x+1|≥3，
根據(jù)絕對值的幾何意義：
|x-1|+|x+1|≥3可以看做數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)1和點(diǎn)-1的距離之和大于或等于3，
則點(diǎn)x到點(diǎn)1和點(diǎn)-1的中點(diǎn)O的距離大于或等于

3

2

即可，
∴點(diǎn)x在-

3

2

或其左邊及

3

2

或其右邊，
即x≤-

3

2

或x≥

3

2

．
∴不等式f（x）≥3的解集為（-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞)．
（II）對?x∈R，f（x）≥2，
只需f（x）的最小值大于等于2．
當(dāng)a≥1時，f（x）=|x-1|+|x-a|=

2x-a-1，x≥a a-1，1≤x＜a -2x+a+1，x＜1

，
∴f（x）_min=a-1．
同理，得當(dāng)a＜1時，f（x）_min=1-a，
∴

a≥1 a-1≥2

或

a＜1 1-a≥2

，
解得a≥3，或a≤-1，
∴a的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查含絕對值不等式的解法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時要認(rèn)真審題，合理運(yùn)用函數(shù)恒成立的性質(zhì)進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．