Question

在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．
（Ⅰ）求曲線的平面直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線與曲線交于點，若點的坐標為，求的值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

解析試題分析：（Ⅰ）直接根據(jù)極坐標方程與直角坐標的轉換關系式結合三角函數(shù)中的兩角和與差的三角函數(shù)公式即可實現(xiàn)將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標方程；（Ⅱ）先將直線的參數(shù)方程與曲線的直角坐標方程聯(lián)立轉化為含的一元二次方程，然后根據(jù)參數(shù)方程中的相關理論直接求的值.
試題解析：（Ⅰ）由，得，
當時，得，
對應直角坐標方程為：.
當，有實數(shù)解，說明曲線過極點，而方程所表示的曲線也過原點.
∴曲線的直角坐標方程為．　       3分
（Ⅱ）把直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，得，
即，由于，故可設是上述方程的兩實根，
則.      5分
∵直線過點，
∴由的幾何意義，可得．    7分
考點：極坐標與參數(shù)方程、韋達定理