Question

（2010•衡陽模擬）某隧道長2150米，通過隧道的車速不能超過20米/秒．一個由55輛車身都為10米的同一車型組成的運輸車隊勻速通過該隧道．設車隊的速度為x米/秒，根據安全和車流的需要，相鄰兩車均保持(

a

6

x2+

1

3

x)米的距離，其中a為常數且

1

2

≤a≤1，自第一輛車車頭進入隧道至第55輛車車尾離開隧道所用時間為y（秒）．
（1）將y表示為x的函數；
（2）求車隊通過隧道所用時間取最小值時車隊的速度．

Answer 1

分析：（1）自第一輛車車頭進入隧道至第55輛車車尾離開隧道所用時間y等于隧道長加車長加車的間隙長，除以火車的速度x米/秒，依題意列出函數解析式并化簡即可
（2）由函數y=

2700

x

+9ax+18的性質，當x=

300 a

時，函數取得最小值，但由于定義域為（0，20]，故需要比較x=

300 a

與定義域的位置關系，分

3

4

≤a≤1，

1

2

≤a＜

3

4

兩種情況討論函數的最小值及取最小值時函數自變量的取值

解答：解：（1）依題意，自第一輛車車頭進入隧道至第55輛車車尾離開隧道所用時間y等于隧道長加車長加車的間隙長，除以火車的速度x米/秒，
即  y=

2150+10×55+( a 6 x2+ 1 3 x)×(55-1)

x

=

2700

x

+9ax+18    （0＜x≤20，

1

2

≤a≤1）
（2）令

2700

x

=9ax，得x=

300 a

，又由

300 a

=20，得a=

3

4

∴①當

3

4

≤a≤1時，

300 a

≤20
由均值定理知當且僅當x=

300 a

時，y=

2700

x

+9ax+18≥2

2700 x ×9ax

+18=180

3a

+18
即當x=

300 a

時，y_min=180

3a

+18
②當

1

2

≤a＜

3

4

時，

300 a

＞20
∵y′=-

2700

x2

+9a＜0，（0＜x≤20）
∴函數y=

2700

x

+9ax+18在（0，20]上是減函數，
∴當x=20時，y_min=

2700

20

+180a+18=153+180a
答：若

1

2

≤a＜

3

4

，則當車隊速度為20m/s時，通過隧道所用時間最少；若

3

4

≤a≤1，則當車隊速度為

300 a

m/s時，通過隧道所用時間最少

點評：本題考查了將應用問題轉化為數學問題的能力，求函數解析式的方法，利用函數性質求函數最值的方法，分類討論的思想方法