Question

【題目】已知橢圓：的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為，原點(diǎn)到直線的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知定點(diǎn)，是否存在過的直線，使與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過橢圓的左頂點(diǎn)？若存在，求出的方程：若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，且方程為或.

【解析】

（1）依題意列出關(guān)于a,b,c的方程組，求得a,b,進(jìn)而可得到橢圓方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓得到，要使以為直徑的圓過橢圓的左頂點(diǎn)，則，結(jié)合韋達(dá)定理可得到參數(shù)值.

（1）直線的一般方程為.

依題意，解得，故橢圓的方程式為.

（2）假若存在這樣的直線，

當(dāng)斜率不存在時(shí)，以為直徑的圓顯然不經(jīng)過橢圓的左頂點(diǎn)，

所以可設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為.

由，得.

由，得.

記，的坐標(biāo)分別為，，

則，，

而 .

要使以為直徑的圓過橢圓的左頂點(diǎn)，則，

即 ，

所以 ，

整理解得或，

所以存在過的直線，使與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過橢圓的左頂點(diǎn)，直線的方程為或.