Question

【題目】如圖，已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，為拋物線上任意一點(diǎn)（原點(diǎn)除外），直線過(guò)焦點(diǎn)交拋物線于點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)交拋物線于點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)．

（1）若弦的長(zhǎng)度為8，求的面積；

（2）求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出拋物線的方程.設(shè)直線的方程為（為斜率的倒數(shù)），代入拋物線的方程，韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求出，即可求出的面積；

（2）設(shè)，則，可得.設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，可求得，可得.利用基本不等式可求的最小值．

（1）因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)為，所以，

所以拋物線的方程為.

設(shè)直線的方程為（為斜率的倒數(shù)）.

由，得，則有

所以，

的面積為.

（另解：到直線的距離為，所以的面積為）.

（2）因?yàn)?/span>在拋物線上，可以設(shè)，根據(jù)第（1）問(wèn)可知，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值為，所以，則有，其中

可得：

設(shè)直線的方程為，

由 ，得，所以可知，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為

所以，同理可得

綜上可知：

所以有（等號(hào)成立條件）

則有最小值為．