Question

設(shè)f(x)=

ex

1+ax2

，其中a為正實數(shù)．若f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：求出f'（x），根據(jù)f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f'（x）≥0或f'（x）≤0在R上恒成立，根據(jù)a為正實數(shù)，將f'（x）≥0或f'（x）≤0在R上恒成立，轉(zhuǎn)化為ax²-2ax+1≥0在R上恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可知△≤0，求解即可得到a的取值范圍．

解答：解：∵f(x)=

ex

1+ax2

，
∴f'（x）=ex•

1+ax2-ax

(1+ax2)2

，
∵f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，
∴f'（x）≥0或f'（x）≤0在R上恒成立，
又∵a為正實數(shù)，
∴f'（x）≥0在R上恒成立，
∴ax²-2ax+1≥0在R上恒成立，
∴△=4a²-4a=4a（a-1）≤0，解得0≤a≤1，
∵a＞0，
∴0＜a≤1，
∴a的取值范圍為0＜a≤1．

點評：考查了利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負對應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題時，經(jīng)常會運用分類討論的數(shù)學思想方法．屬于中檔題．