Question

【題目】已知函數

（1）若函數在區(qū)間上是減函數，求實數的取值范圍；

（2）當時，函數圖象上的點都在所表示的平面區(qū)域內，求實數的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）函數f（x）在區(qū)間[2，4]上單調遞減等價于其導數在區(qū)間[2，4]上恒成立，只需求在[2，4]上的最小值即可；

（2）題意可化為當x∈[1，+∞）時，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立，設g（x）＝a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），只需g（x）max≤0即可，下面用導數求解g（x）的最大值．

解：（1）

因為函數在區(qū)間上單調遞減

在區(qū)間上恒成立，

即在上恒成立

只需不大于在上的最小值即可

當時，

即，故實數的取值范圍是

（2）因為圖象上的點都在所表示的平面區(qū)域內

即當時，不等式恒成立

即恒成立

設只需

既可

由

⑴當時，，當時，

函數在上單調遞減，故成立

⑵當時，由

令得

①若，即時，在區(qū)間上

在上單調遞增，函數在上無最大值，不滿足條件

②若，時

函數在上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，

同樣在上無最大值，不滿足條件

⑶當時，

因為，故則函數在上單調遞減，

故成立

綜上所述，實數的范圍是