Question

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)，(A＞0， ω＞0， |φ|＜

π

2

)的最小值是-2，在一個(gè)周期內(nèi)圖象最高點(diǎn)與最低點(diǎn)橫坐標(biāo)差是3π，又：圖象過點(diǎn)（0，1），
求（1）函數(shù)解析式，并利用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)的圖象；
（2）函數(shù)的最大值、以及達(dá)到最大值時(shí)x的集合；
（3）該函數(shù)圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮得到？
（4）當(dāng)x∈(0，

3π

2

)時(shí)，函數(shù)的值域．

Answer 1

分析：（1）依題意，易求A，由

1

2

T=3π，T=

2π

ω

可求得ω，又圖象過點(diǎn)（0，1），|φ|＜

π

2

可求得φ，從而可得該函數(shù)的解析式．
（2）由函數(shù)的解析式即可得到函數(shù)的最大值、以及達(dá)到最大值時(shí)x的集合；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換法則，即可該函數(shù)圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象如何平移和伸縮得到；
（4）當(dāng)x∈(0，

3π

2

)時(shí)，則

1

3

x+

π

6

的范圍可知，故函數(shù)y=2sin(

1

3

x+

π

6

)的值域可求．

解答：解：（1）由于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)，(A＞0， ω＞0， |φ|＜

π

2

)的最小值是-2，
則A=2，
又由一個(gè)周期內(nèi)圖象最高點(diǎn)與最低點(diǎn)橫坐標(biāo)差是3π，
則

T

2

=3π，∴T=6π，
即

2π

|ω|

=6π（ω＞0）解得 ω=

1

3

又圖象過點(diǎn)（0，1），則令x=0  有2sinφ=1，
又由|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

6

，∴所求函數(shù)解析式為y=2sin(

1

3

x+

π

6

)，
利用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)的圖象為：
（2）令

1

3

x+

π

6

=kπ+

π

2

，解得x=6kπ+π，k∈Z，
則當(dāng){x|x=6kπ+π，k∈Z}時(shí)，y=2sin(

1

3

x+

π

6

)取最大值2；  
（3）由y=sinx（x∈R）的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)y=2sin(

1

3

x+

π

6

)的圖象；  
（4）當(dāng)x∈(0，

3π

2

)時(shí)，則

1

3

x+

π

6

∈(

π

6

，

2π

3

)
故sin（

1

3

x+

π

6

）∈（

1

2

，1]，即y=2sin(

1

3

x+

π

6

)∈（1，2]，
故當(dāng)x∈(0，

3π

2

)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，用五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在一個(gè)周期上的簡圖，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．