Question

是否存在這樣的平移，使拋物線y=-x²平移后過原點(diǎn)，且以平移后的拋物線的頂點(diǎn)和它與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為1？若不存在，請說明理由；若存在，求出平移后拋物線的解析式.

Answer 1

解：假設(shè)存在這樣的平移向量a=(h,k).

將平移公式代入y=-x²得平移后的拋物線為

y-k=-(x-h)²，即y=-(x-h)²+k.

∵平移后拋物線過原點(diǎn)，

∴k=h².①

由

得(x-h)²=k.

∴當(dāng)k＞0時(shí)，x=h±.

因此拋物線在x軸上截得的弦長為2.

又∵平移后拋物線的頂點(diǎn)為(h,k),

∴依題意·2·k=1(k＞0).

則k=1.②

將②代入①，得h=±1.

∴存在滿足已知條件的平移向量a=(1,1)或a=(-1,1).

當(dāng)a=(1,1)時(shí)，平移后拋物線的解析式為

y=-(x-1)²+1,即y=-x²+2x;

當(dāng)a=(-1,1)時(shí)，平移后拋物線的解析式為

y=-(x+1)²+1,即y=-x²-2x.

點(diǎn)評:本題考查函數(shù)圖象的平移，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)的性質(zhì)等知識.逐步掌握對探索性問題的一般解法.