Question

如圖，已知圓錐的軸截面ABC是邊長為2的正三角形，O是底面圓心．
（Ⅰ）求圓錐的表面積；
（Ⅱ）經過圓錐的高AO的中點O′作平行于圓錐底面的截面，求截得的圓臺的體積．

Answer 1

分析：（1）根據圓錐軸截面的形狀，得它底面半徑r=1，母線l=2，結合圓錐的表面積公式，不難得到該圓錐的表面積；
（2）根據圓O'是經過高AO的中點且平行于圓O所在平面的截面，得截得小圓錐與大圓錐相似且相似比為1：2，再結合圓錐體積公式和兩個相似體的體積關系，可得小圓錐的體積，從而得到所求圓臺的體積．

解答：解：（1）圓錐的表面是由一個側面和一個底面圓構成
∵圓錐的軸截面ABC是邊長為2的正三角形，得底面半徑r=1，母線l=2
∴S_底面=πr²=π×1²=π，S_側面=πrl=π×1×2=2π
因此，該圓錐的表面積等于S=S_底面+S_側面=3π；
（2）由（1）得，大圓錐的高h=

22-12

=

3

∴大圓錐的體積V_大圓錐=

1

3

×S_底×h=

3 π

3

∵圓O'是經過高AO的中點，且平行于圓O所在平面的截面
∴截得小圓錐與大圓錐的相似比為1：2，可得V_小圓錐=

1

8

V_大圓錐=

3 π

24

因此，所求圓臺的體積為V=V_大圓錐-V_小圓錐=

7 3 π

24

點評：本題給出軸截面是等邊三角形的圓錐，求表面積并求截得圓臺的體積．考查了圓的側面積公式、體積公式和圓臺體積求法等知識，屬于基礎題．