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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          如圖,已知圓錐的軸截面ABC是邊長為2的正三角形,O是底面圓心.
          (Ⅰ)求圓錐的表面積;
          (Ⅱ)經過圓錐的高AO的中點O′作平行于圓錐底面的截面,求截得的圓臺的體積.
          分析:(1)根據圓錐軸截面的形狀,得它底面半徑r=1,母線l=2,結合圓錐的表面積公式,不難得到該圓錐的表面積;
          (2)根據圓O'是經過高AO的中點且平行于圓O所在平面的截面,得截得小圓錐與大圓錐相似且相似比為1:2,再結合圓錐體積公式和兩個相似體的體積關系,可得小圓錐的體積,從而得到所求圓臺的體積.
          解答:解:(1)圓錐的表面是由一個側面和一個底面圓構成
          ∵圓錐的軸截面ABC是邊長為2的正三角形,得底面半徑r=1,母線l=2
          ∴S底面=πr2=π×12=π,S側面=πrl=π×1×2=2π
          因此,該圓錐的表面積等于S=S底面+S側面=3π;
          (2)由(1)得,大圓錐的高h=
          22-12
          =
          3

          ∴大圓錐的體積V大圓錐=
          1
          3
          ×S×h=
          3
          π
          3

          ∵圓O'是經過高AO的中點,且平行于圓O所在平面的截面
          ∴截得小圓錐與大圓錐的相似比為1:2,可得V小圓錐=
          1
          8
          V大圓錐=
          3
          π
          24

          因此,所求圓臺的體積為V=V大圓錐-V小圓錐=
          7
          3
          π
          24
          點評:本題給出軸截面是等邊三角形的圓錐,求表面積并求截得圓臺的體積.考查了圓的側面積公式、體積公式和圓臺體積求法等知識,屬于基礎題.
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