Question

已知圓錐曲線C：

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ為參數(shù)）和定點A（0，

3

），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是此圓錐曲線的左右兩個焦點
（1）求直線AF₂的極坐標方程；
（2）過點F₁且與直線AF₂垂直的直線l交此圓錐曲線于M，N兩點，求||MF₁|-|NF₁||的值．

Answer 1

分析：（1）由圓錐曲線C：

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ為參數(shù)）消去參數(shù)θ可得橢圓的方程，利用c=

a2-b2

即可得出F₂．利用點斜式可得直線AF₂的方程，再利用極坐標與直角坐標的互化公式x=ρcosα，y=ρsinα即可得出；
（2）可設(shè)此直線的參數(shù)方程為

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

，代入橢圓方程整理，再利用參數(shù)的幾何意義即弦長公式||MF₁|-|MF₂||=|t₁+t₂|即可得出．

解答：解：（1）由圓錐曲線C：

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ為參數(shù)）消去參數(shù)θ可得

x2

4

+

y2

3

=1，
∴c=

4-3

=1，∴F₂（1，0）．
∵A(0，

3

)，∴kAF2=

3 -0

0-1

=-

3

．
∴直線AF₂的方程為y=-

3

x+

3

，
把x=ρcosα，y=ρsinα代入得到ρsinα=-

3

ρcosα+

3

，即ρsin(α+

π

3

)=

3

2

．
（2）∵AF₂的斜率kAF2=-

3

，∴過點F₁且與直線AF₂垂直的直線l的斜率k=

3

3

．
可設(shè)此直線的參數(shù)方程為

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

，代入橢圓方程整理得13t2-12

3

t-36=0．
∴由弦長公式可得||MF₁|-|NF₁||=|t₁+t₂|=

12 3

13

．

點評：本題綜合考查了橢圓的參數(shù)方程、標準方程及其性質(zhì)、極坐標與直角坐標的互化公式x=ρcosα，y=ρsinα、直線的參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義和弦長公式等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于難題．