Question

【題目】已知正三棱錐P﹣ABC中E，F(xiàn)分別是AC，PC的中點(diǎn)，若EF⊥BF，AB=2，則三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積（ ）
A.4π
B.6π
C.8π
D.12π

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵E、F分別是AC，PC的中點(diǎn)，∴EF∥PA，
∵P﹣ABC是正三棱錐，∴PA⊥BC（對(duì)棱垂直），
∴EF⊥BC，又EF⊥BF，且BF∩BC=B，
∴EF⊥平面PBC，∴PA⊥平面PBC，
∴∠APB=∠APC=∠BPC=90°，
以PA、PB、PC為從同一點(diǎn)P出發(fā)的正方體三條棱，
將此三棱錐補(bǔ)成正方體，如圖所示：
∵三棱錐和正方體有相同的外接球，
∴正方體的體對(duì)角線(xiàn)就是外接球的直徑，
又AB=2，∴PA= ，∴2R= ，則R= ，
∴三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為：4πR2=4π× =6π，
故選B．