Question

(理)如圖，直三棱柱A₁B₁C₁－ABC中，C₁C＝CB＝CA＝2，AC⊥CB．D、E分別為棱C₁C、B₁C₁的中點．

(1)求點B到平面A₁C₁CA的距離；

(2)求二面角B－A₁D－A的余弦值；

(3)在線段AC上是否存在一點F，使得EF⊥平面A₁BD？若存在，確定其位置并證明結論；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵A1B1C1－ABC為直三棱住　∴CC1⊥底面ABC　∴CC1⊥BC 　　∵AC⊥CB　∴BC⊥平面A1C1CA　2分 　　∴BC長度即為B點到平面A1C1CA的距離 　　∵BC＝2　∴點B到平面A1C1CA的距離為2　3分 　　(2)∵A1B1C1－ABC為直三棱住　C1C＝CB＝CA＝2 　　AC⊥CB　D、E分別為C1C、B1C1的中點 　　建立如圖所示的坐標系得 　　C(0，0，0)　B(2，0，0)　A(0，2，0) 　　C1(0，0，2)　B1(2，0，2)　A1(0，2，2) 　　D(0，0，1)　E(1，0，2)　5分 　　　設平面A1BD的法向量為n 　　　　7分 　　平面ACC1A1的法向量為m＝(1，0，0)　　8分 　　(3)在線段AC上存在一點F，設F(0，y，0)使得EF⊥平面A1BD　10分 　　欲使EF⊥平面A1BD　由(2)知，當且僅當n∥ 　　　 　　∴存在唯一一點F(0，1，0)滿足條件即點F為AC中點　12分