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        1. 已知圓M的方程為x2+(y-2)2=1,直線l的方程為x-2y=0,點P在直線l上,過P點作圓M的切線PA,PB,切點為A,B.
          (1)若∠APB=60°,試求點P的坐標;
          (2)若P點的坐標為(2,1),過P作直線與圓M交于C,D兩點,當CD=
          2
          時,求直線CD的方程;
          (3)求證:經(jīng)過A,P,M三點的圓必過定點,并求出所有定點的坐標.
          分析:(1)設(shè)P(2m,m),代入圓方程,解得m,進而可知點P的坐標.
          (2)設(shè)直線CD的方程為:y-1=k(x-2),由圓心M到直線CD的距離求得k,則直線方程可得.
          (3)設(shè)P(2m,m),MP的中點Q(m,
          m
          2
          +1)
          ,因為PA是圓M的切線,進而可知經(jīng)過A,P,M三點的圓是以Q為圓心,以MQ為半徑的圓,進而得到該圓的方程,根據(jù)其方程是關(guān)于m的恒等式,進而可求得x和y,得到經(jīng)過A,P,M三點的圓必過定點的坐標.
          解答:解:(1)設(shè)P(2m,m),由題可知MP=2,所以(2m)2+(m-2)2=4,
          解之得:m=0,m=
          4
          5
          ,
          故所求點P的坐標為P(0,0)或P(
          8
          5
          ,
          4
          5
          )

          (2)設(shè)直線CD的方程為:y-1=k(x-2),易知k存在,
          由題知圓心M到直線CD的距離為
          2
          2
          ,所以
          2
          2
          =
          |-2k-1|
          1+k2
          ,
          解得,k=-1或k=-
          1
          7
          ,故所求直線CD的方程為:x+y-3=0或x+7y-9=0.
          (3)設(shè)P(2m,m),MP的中點Q(m,
          m
          2
          +1)

          因為PA是圓M的切線,所以經(jīng)過A,P,M三點的圓是以Q為圓心,以MQ為半徑的圓,
          故其方程為:(x-m)2+(y-
          m
          2
          -1)2=m2+(
          m
          2
          -1)2

          化簡得:x2+y2-2y-m(2x+y-2)=0,此式是關(guān)于m的恒等式,
          故x2+y2-2y=0且(2x+y-2)=0,
          解得
          x=0
          y=2
          x=
          4
          5
          y=
          2
          5

          所以經(jīng)過A,P,M三點的圓必過定點(0,2)或(
          4
          5
          ,
          2
          5
          ).
          點評:本題主要考查了圓方程的綜合運用.解題的關(guān)鍵是對圓性質(zhì)的熟練掌握.
          練習冊系列答案
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          在直角坐標系xOy中,已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0(α為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為
          x=tcosθ
          y=1+tsinθ
          (t
          為參數(shù))
          (I)求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程,并說明它表示什么曲線;
          (II)求直線l被軌跡C截得的最大弦長.

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          (1)若∠APB=60°,試求點P的坐標;
          (2)若P點的坐標為(2,1),過P作直線與圓M交于C,D兩點,當CD=
          2
          時,求直線CD的方程.

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          (1)若∠APB=60°,試求點P的坐標;
          (2)若P點的坐標為(2,1),過P作直線與圓M交于C,D兩點,當CD=時,求直線CD的方程.

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          已知圓M的方程為x2+(y-2)2=1,直線l的方程為x-2y=0,點P在直線l上,過點P作圓M的切線PA,PB,切點為A,B.

          (Ⅰ)若∠APB=60°,試求點P的坐標;

          (Ⅱ)若P點的坐標為(2,1),過P作直線與圓M交于C,D兩點,當CD=時,求直線CD的方程.

           

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