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        1. 已知f(x)=(x-1)2,g(x)=4x-4數(shù)列{an}滿足a1=2,(an+1-an)g(an)+f(an)=0,(n∈N+
          (1)證明數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列;
          (2)設(shè)bn=7f(an)-g(an+1),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn;
          (3)在(2)的條件下,是否存在自然數(shù)M使得Sn<M<f(x)-g(x)+對任意n∈N*和任意實(shí)數(shù)x均成立,若存在求出滿足條件的所有自然數(shù)M.
          【答案】分析:(1)利用f(x)、g(x)的解析式,將等式(an+1-an)g(an)+f(an)=0,化簡整理得4an+1-3an-1=0,可得4(an+1-1)=3(an-1),從而得到數(shù)列{an-1}是首項(xiàng)a1-1=1,公比q=的等比數(shù)列;
          (2)由(1)求出an=+1,代入表達(dá)式求出bn=-,再利用等比數(shù)列求和公式即可算出前n項(xiàng)和Sn=-16•(2n+12•(n+4;
          (3)根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),并且采用換元法求出Sn=-16•(2n+12•(n+4的最大值為≈6.21,結(jié)合f(x)-g(x)+=x2-6x+當(dāng)x=3時取得最小值為,可得不等式Sn<M<f(x)-g(x)+對任意n∈N*和任意實(shí)數(shù)x均成立,即6.21≤M<成立,解之得M=7.
          解答:解:(1)∵f(x)=(x-1)2,g(x)=4x-4
          ∴(an+1-an)g(an)+f(an)=0,
          即4(an+1-an)(an-1)+(an-1)2=0,化簡得(an-1)(4an+1-3an-1)=0
          ∵an≠1,
          ∴4an+1-3an-1=0,可得4(an+1-1)=3(an-1),從而得到,
          由此可得數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列,它的首項(xiàng)a1-1=1,公比q=
          (2)由(1),得an=+1
          ∴f(an)=,g(an+1)=4•,
          可得bn=7f(an)-g(an+1)=7•-4•=-,
          數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=-=-16•(2n+12•(n+4;
          (3)令t=(n,得
          Sn=-16•(2n+12•(n+4=-16t2+12t+4=-16(t-2+
          ∵n∈N*,∴結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),得當(dāng)n=3時t=時,Sn的最大值為≈6.21
          又∵f(x)-g(x)+=x2-6x+,當(dāng)x=3時取得最小值為
          ∴若存在自然數(shù)M,使得Sn<M<f(x)-g(x)+對任意n∈N*和任意實(shí)數(shù)x均成立,
          則6.21≤M<成立,解之得M=7
          即存在自然數(shù)M=7,使得Sn<M<f(x)-g(x)+對任意n∈N*和任意實(shí)數(shù)x均成立.
          點(diǎn)評:本題給出兩個函數(shù)的表達(dá)式,求證數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列,并依此解決一個不等式恒成立的問題.著重考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式和不等式恒成立問題的處理等知識,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知f (x)=sin (x+
          π
          2
          ),g (x)=cos (x-
          π
          2
          ),則下列命題中正確的是( 。
          A、函數(shù)y=f(x)•g(x)的最小正周期為2π
          B、函數(shù)y=f(x)•g(x)是偶函數(shù)
          C、函數(shù)y=f(x)+g(x)的最小值為-1
          D、函數(shù)y=f(x)+g(x)的一個單調(diào)增區(qū)間是[-
          4
          ,
          4
          ]

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知f(x)=
          1,x<0
          2,x≥0
          ,g(x)=
          3f(x-1)-f(x-2)
          2

          (1)當(dāng)1≤x<2時,求g(x);
          (2)當(dāng)x∈R時,求g(x)的解析式,并畫出其圖象;
          (3)求方程xf[g(x)]=2g[f(x)]的解.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知f (x)=2sin(x+
          θ
          2
          )cos(x+
          θ
          2
          )+2
          3
          cos2(x+
          θ
          2
          )-
          3

          (1)化簡f (x)的解析式;
          (2)若0≤θ≤π,求θ使函數(shù)f (x)為偶函數(shù);
          (3)在(2)成立的條件下,求滿足f (x)=1,x∈[-π,π]的x的集合.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=x2-kx3.(k≥0)
          (Ⅰ)求g(x)的解析式;
          (Ⅱ)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性;
          (Ⅲ)若數(shù)學(xué)公式,設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的導(dǎo)函數(shù),問是否存在實(shí)數(shù)a,滿足a>1并且使g(x)在區(qū)間數(shù)學(xué)公式上的值域?yàn)?img class='latex' alt='數(shù)學(xué)公式' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/769.png' />,若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年高三數(shù)學(xué)第一輪基礎(chǔ)知識訓(xùn)練(20)(解析版) 題型:解答題

          已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=x2-kx3.(k≥0)
          (Ⅰ)求g(x)的解析式;
          (Ⅱ)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性;
          (Ⅲ)若,設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的導(dǎo)函數(shù),問是否存在實(shí)數(shù)a,滿足a>1并且使g(x)在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214609557716869/SYS201310232146095577168019_ST/2.png">,若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

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          同步練習(xí)冊答案