Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對任意的正整數(shù)n，都有a_n=5S_n+1成立，記bn=

4+an

1-an

(n∈N*)．
（I）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（II）記cn=

5

bn-4

，求數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析：（I）由a_n=5S_n+1，能推導(dǎo)出an=(-

1

4

)n，再由bn=

4+an

1-an

(n∈N*)，能求出數(shù)列{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=4+

5

(-4)n-1

，故cn=

5

bn-4

-(-4)n-1，由此能求出數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n．

解答：解：（I）∵a_n=5S_n+1，
∴當(dāng)n=1時，a₁=5a₁+1，
∴a1=-

1

4

，
當(dāng)n≥2時，a_n=5S_n+1，a_n-1=5S_n-1+1，
兩式相減，a_n-a_n-1=5a_n，即an=-

1

4

an-1，
∴數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，其首項a1=-

1

4

a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，其首項a₁=-

1

4

，公比是q=-

1

4

，
∴an=(-

1

4

)n，
∴bn=

4+(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )n

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=4+

5

(-4)n-1

，
bn-4=

5

(-4)n-1

，
∴cn=

5

bn-4

-(-4)n-1，
∴Tn=

-4[(1-(-4)n]

1-(-4)

-n
=

4

5

(-4)n-n-

4

5

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意迭代法和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．