Question

（本小題滿分13分）

設(shè)數(shù)列的前n項和為，如果為常數(shù)，則稱數(shù)列為“科比數(shù)列”。

   （1）等差數(shù)列的首項為1，公差不為零，若為“科比數(shù)列”，求的通項公式；

   （2）數(shù)列的各項都是正數(shù)，前n項和為，若對任意都成立，試推斷數(shù)列是否為“科比數(shù)列”？并說明理由。

Answer 1

解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，因為，

則，即． 

整理得，．                 ………………4分

因為對任意正整數(shù)上式恒成立，則，解得．　…… 6分

故數(shù)列的通項公式是．                  　　　　　…………7分

       ⑵ 由已知，當(dāng)時，．因為，所以． 　　…………8分

當(dāng)時，，．

兩式相減，得．

因為，所以=．                   　…………10分

顯然適合上式，所以當(dāng)時，．

于是．

因為，則，

所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．

所以不為常數(shù)，故數(shù)列不是“科比數(shù)列”． ……13分