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        1. 已知函數(shù)f(x)=alnx-ax-3(a∈R).
          (1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (2)若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線的傾斜角為45°,問(wèn):m在什么范圍取值時(shí),函數(shù)g(x)=x3+x2[
          m
          2
          +f′(x)]
          在區(qū)間(2,3)上總存在極值?
          (3)當(dāng)a=2時(shí),設(shè)函數(shù)g(x)=(ρ-2)x+
          ρ+2
          x
          -3
          ,若對(duì)任意地x∈[1,2],f(x)≥g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)p的取值范圍.
          分析:(1)求出f′(x)把a(bǔ)=1代入到f′(x),令f′(x)>0時(shí),得到函數(shù)的遞增區(qū)間;令f′(x)<0時(shí),得到函數(shù)的遞減區(qū)間;(2)因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線的傾斜角為45°,得到f′(2)=1求出a的值代入到g(x)=x3+x2[
          m
          2
          +f′(x)]
          中化簡(jiǎn),求出導(dǎo)函數(shù),因?yàn)楹瘮?shù)在(2,3)上總存在極值得到
          g(2)<0
          g(3)>0
          解出m的范圍記即可;
          (3)設(shè)F(x)=f(x)-g(x),求出導(dǎo)函數(shù),討論ρ的范圍得到函數(shù)的增減性,因?yàn)閷?duì)任意地x∈[1,2],f(x)≥g(x)恒成立,得到ρ的取值范圍.
          解答:解:f(x)=
          a
          x
          -a(x>0)

          (1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=
          1
          x
          -1=
          1-x
          x

          令f′(x)>0時(shí),解得0<x<1,所以f(x)在(0,1)遞增;
          令f′(x)<0時(shí),解得x>1,所以f(x)在(1,+∞)遞減.
          (2)因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線的傾斜角為45°,
          所以f′(2)=1,所以a=-2,f(x)=
          -2
          x
          +2

          g(x)=x3+x2[
          m
          2
          +2-
          2
          x
          ]=x3+(
          m
          2
          +2)x2-2x
          ,g′(x)=3x2+(4+m)x-2,
          因?yàn)閷?duì)于任意的t∈[1,2],函數(shù)g(x)=x3+x2[
          m
          2
          +f′(x)]
          在區(qū)間(t,3)上,
          總存在極值,所以只需
          g(2)<0
          g(3)>0
          ,解得-
          37
          3
          <m<-9

          (3)設(shè)F(x)=f(x)-g(x)=2lnx-px-
          p+2
          x
          F(x)=
          2
          x
          -p+
          p+2
          x2
          =
          -px2+2x+(p+2)
          x2
          =
          -p(x+1)(x-
          p+2
          p
          )
          x2

          當(dāng)ρ=-1時(shí),F(x)=
          2x+2
          x2
          >0
          ,∴F(x)在[1,2]遞增,所以F(1)=4>0成立;
          1+
          2
          p
          <-1,即-1<p<0
          時(shí),不成立,(舍)
          -1<1+
          2
          p
          ≤1,即p<-1
          時(shí),F(xiàn)(x)在[1,2]遞增,所以F(1)=-2p-2≥0,解得ρ≤-1
          所以,此時(shí)ρ<-1和ρ=-1時(shí),F(xiàn)(x)在[1,2]遞增,成立;ρ>-1時(shí),均不成立.
          綜上,ρ≤-1
          點(diǎn)評(píng):考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程的能力,會(huì)根據(jù)直線的傾斜角求直線的斜率,理解函數(shù)恒成立取到的條件.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          a-x2
          x
          +lnx  (a∈R , x∈[
          1
          2
           , 2])

          (1)當(dāng)a∈[-2,
          1
          4
          )
          時(shí),求f(x)的最大值;
          (2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2009•海淀區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=a-2x的圖象過(guò)原點(diǎn),則不等式f(x)>
          34
          的解集為
          (-∞,-2)
          (-∞,-2)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a|x|的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,3),解不等式f(
          2x
          )>3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a•2x+b•3x,其中常數(shù)a,b滿足a•b≠0
          (1)若a•b>0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
          (2)若a=-3b,求f(x+1)>f(x)時(shí)的x的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a-2|x|+1(a≠0),定義函數(shù)F(x)=
          f(x)   ,  x>0
          -f(x) ,    x<0
           給出下列命題:①F(x)=|f(x)|; ②函數(shù)F(x)是奇函數(shù);③當(dāng)a<0時(shí),若mn<0,m+n>0,總有F(m)+F(n)<0成立,其中所有正確命題的序號(hào)是
           

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          同步練習(xí)冊(cè)答案