Question

（本題滿分15分）已知橢圓上的動點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為。以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若過點(diǎn)(2，0)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)， 且滿足

（為坐標(biāo)原點(diǎn)）。當(dāng) 時，求實(shí)數(shù)的值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）故橢圓的方程為．（Ⅱ）   。

【解析】本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及應(yīng)用和直線與橢圓的位置關(guān)系，具有較大的難度，解題時要注意的靈活運(yùn)用．

（1）由題設(shè)條件可知 a-c的值，然后利用以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切，得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）設(shè)出直線方程與橢圓聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理和向量的關(guān)系式，得到參數(shù)k與t的關(guān)系式，進(jìn)而得到結(jié)論。

解：（Ⅰ）由題意知；        ………………2分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102512355717185489/SYS201210251237273125925047_DA.files/image006.png">，所以，．          ………………4分

故橢圓的方程為．              ………………5分

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，，，，

由得．           ……………………7分

，．                 ……………………9分

，．又由，得，

                                   ……………………11分

可得．                                            ……………………12分

又由，得，則，．               ……………………13分

故，即．   ……………………14分

得，，即                                ……………………15分