Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy上，給定拋物線L：y=x²．實(shí)數(shù)p，q滿足p²-4q≥0，x₁，x₂是方程x²-px+q=0的兩根，記φ（p，q）=max{|x₁|，|x₂|}．
（1）過點(diǎn)，A（p，p²）（p≠0），作L的切線交y軸于點(diǎn)B．證明：對線段AB上的任一點(diǎn)Q（p，q），有φ（p，q）=；
（2）設(shè)M（a，b）是定點(diǎn)，其中a，b滿足a²-4b＞0，a≠0．過M（a，b）作L的兩條切線l₁，l₂，切點(diǎn)分別為E（p₁，），E′（p₂，p₂²），l₁，l₂與y軸分別交于F，F(xiàn)′．線段EF上異于兩端點(diǎn)的點(diǎn)集記為X．證明：M（a，b）∈X?|P₁|＜|P₂|?φ（a，b）=．
（3）設(shè)D={ （x，y）|y≤x-1，y≥（x+1）²-}．當(dāng)點(diǎn)（p，q）取遍D時，求φ（p，q）的最小值 （記為φ_min）和最大值（記為φ_max）

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)，寫出過點(diǎn)A（p，p²）（p≠0）L的切線方程，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可證得結(jié)果；
（2）求出過M（a，b）作L的兩條切線l₁，l₂，根據(jù)φ（p，q）=max{|x₁|，|x₂|}，比較、|a-|、、|a-|的大小，即可證得結(jié)論；
（3）聯(lián)立y=x-1，y=（x+1）²-求得交點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求過點(diǎn)（p，q）拋物線L的切線方程，求得切點(diǎn)坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．
解答：解：（1）k_AB=y′|_x=p0=p，
直線AB的方程為y-p²=p（x-p），即y=px-p²，
∴q=pp-p²，方程x²-px+q=0的判別式△=p²-4q=（p-p）²，
兩根x_1，2==或p-，
而|p-|=||p|-|||，又0≤|p|≤|p|，
∴，得|p-|=||p|-|||，
∴φ（p，q）=；

（2）由a²-4b＞0知點(diǎn)M（a，b）在拋物線L的下方，
①當(dāng)a＞0，b≥0時，作圖可知，若M（a，b）∈X，則p₁＞p₂≥0，
得|p₁|＞|p₂|；顯然有點(diǎn)M（a，b）∈X；∴M（a，b）∈X?|P₁|＜|P₂|．
②當(dāng)a＞0，b＜0時，點(diǎn)M（a，b）在第二象限，作圖可知，若M（a，b）∈X，則p₁＞0＞p₂，
且|p₁|＞|p₂|；
顯然有點(diǎn)M（a，b）∈X，
∴顯然有點(diǎn)M（a，b）∈X?|P₁|＜|P₂|．
根據(jù)曲線的對稱性可知，當(dāng)a＜0時，M（a，b）∈X?|P₁|＜|P₂|．
綜上所述，M（a，b）∈X?|P₁|＜|P₂|．   （*）
由（1）知點(diǎn)M在直線EF上，方程x²-ax+b=0的兩根x_1，2=或a-，
同理知點(diǎn)M在直線E′F′上，方程x²-ax+b=0的兩根x_1，2=或a-，
若φ（a，b）=，則不比|a-|、、|a-|小，
∴|p₁|＞|p₂|；又|p₁|＞|p₂|⇒M（a，b）∈X；
∴φ（p，q）=⇒M（a，b）∈X；
又由（1）知，M（a，b）∈X⇒φ（p，q）=；
∴M（a，b）∈X?φ（p，q）=，綜合（*）式，得證．

（3）聯(lián)立y=x-1，y=（x+1）²-得交點(diǎn)（0，-1），（2，1），可知0≤p≤2，
過點(diǎn)（p，q）拋物線L的切線，設(shè)切點(diǎn)為（x，x²），則，
得x²-2px+4q=0，解得x=p+，
又q≥（p+1）²-，即p²-4q≤4-2p，
x≤p+，設(shè)=t，x≤=≤，
∴φ_max=；
而x≥p+=p+|p-2|=2，
∴φ_min==1．
點(diǎn)評：此題是個難題．本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究拋物線的切線方程，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力．其中問題形式是個新定義問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．