Question

（A）4-2矩陣與變換
已知二階矩陣M的特征值是λ₁=1，λ₂=2，屬于λ₁的一個(gè)特征向量是e1=

1 1

，屬于λ₂的一個(gè)特征向量是e2=

-1 2

，點(diǎn)A對應(yīng)的列向量是a=

1 4

．
（Ⅰ）設(shè)a=me₁+ne₂，求實(shí)數(shù)m，n的值．
（Ⅱ）求點(diǎn)A在M⁵作用下的點(diǎn)的坐標(biāo)．

（B）4-2極坐標(biāo)與參數(shù)方程
已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ-

π

3

)=3，曲線C的參數(shù)方程為

x=cosθ y=3sinθ

，設(shè)P點(diǎn)是曲線C上的任意一點(diǎn)，求P到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析：（A）：（Ⅰ）把兩個(gè)特征向量代入a=me₁+ne₂，讓其等于

.

1   4

.

，得到關(guān)于m與n的二元一次方程組，求出方程組的解集即可得到m與n的值；
（Ⅱ）根據(jù)二階矩陣的線性變換，得到M⁵a=M⁵（2e₁+e₂）=2M⁵e₁+M⁵e₂=2λ₁⁵e₁+λ₂⁵e₂=2e₁+2⁵e₂，分別把兩個(gè)特征向量代入即可求出點(diǎn)A在M⁵作用下的點(diǎn)的坐標(biāo)；
（B）：把極坐標(biāo)方程利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后，根據(jù)ρsinθ=y，ρcosθ=x，把極坐標(biāo)方程化為普通方程得到直線l的方程，設(shè)出曲線C參數(shù)方程一點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出P到直線l的距離d，利用兩角和的余弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的余弦函數(shù)，根據(jù)余弦函數(shù)的值域即可求出d的最大值．

解答：（A）4-2矩陣與變換
解：（Ⅰ）由a=me₁+ne₂得：

1 4

=m

1 1

+n

-1 2

，即

1=m-n 4=m+2n

?

m=2 n=1

．
（Ⅱ）二階矩陣M對應(yīng)的變換是線性變換
所以M⁵a=M⁵（2e₁+e₂）=2M⁵e₁+M⁵e₂
=2λ₁⁵e₁+λ₂⁵e₂=2e₁+2⁵e₂
=2

1 1

+25=

2-25 2+26

=

-30 66

所以點(diǎn)A在M⁵作用下的點(diǎn)的坐標(biāo)（-30，66）．
（B）4-2極坐標(biāo)與參數(shù)方程
解：由ρsin(θ-

π

3

)=3，得：ρ(

1

2

sinθ-

3

2

cosθ)=3，∴y-

3

x=6，即：

3

x-y+6=0
又曲線C的參數(shù)方程是

x=cosθ y=3sinθ

，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（cosθ，3sinθ），
則點(diǎn)P到直線l的距離是d=

| 3 cosθ-3sinθ+6|

( 3 )2+12

=

| 3 cosθ-3sinθ+6|

2

=

|2 3 cos(θ+ π 3 )+6|

2

≤

|2 3 +6|

2

=

3

+3
所以，P到直線l的距離的最大值為

3

+3．

點(diǎn)評：此題考查了二階矩陣的線性表示，會將簡單的極坐標(biāo)方程化為普通方程，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡求值，靈活運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式化簡求值，是一道綜合題．