Question

已知橢圓方程為

y2

2

+x2=1，斜率為k（k≠0）的直線過橢圓的上焦點(diǎn)且與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)M（0，m）．
（1）求m的取值范圍；    
（2）求△OPQ面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線l的方程為y=kx+1，代入橢圓方程，確定線段PQ中點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用k_MN•k=-1，可用k的表達(dá)式表示m，即可求得m的取值范圍；    
（2）表示出△OPQ面積，利用換元法，再利用基本不等式，即可求得△OPQ面積的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)直線l的方程為y=kx+1，代入橢圓方程，消去y可得（k²+2）x²+2kx-1=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

2k

k2+2

，x₁x₂=-

1

k2+2

∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=

4

k2+2

設(shè)線段PQ中點(diǎn)為N，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-

k

k2+2

，

2

k2+2

）
由題意有k_MN•k=-1，可得

m- 2 k2+2

k k2+2

•k=-1．
∴m=

1

k2+2

又k≠0，所以0＜m＜

1

2

即m的取值范圍是（0，

1

2

）；
（2）S_△OPQ=

1

2

×1×|x₁-x₂|=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

8(k2+1) (k2+2)2

令k²+1=t（t＞1），則S_△OPQ=

2

×

t (t+1)2

=

2

×

1 t+ 1 t +2

∵t＞1，∴t+

1

t

＞2（函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞增
∴0＜

2

×

1 t+ 1 t +2

＜

2

2

∴△OPQ面積的取值范圍是（0，

2

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)．