Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+3x+1．
（Ⅰ）設a=2，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設f（x）在區(qū)間（2，3）內(nèi)至少有一個極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數(shù)，利用導數(shù)大于0，可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間，利用導數(shù)小于0，可得f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）f（x）在區(qū)間（2，3）中至少有一個極值點，等價于方程f′（x）=0在其判別式△＞0（即a＞1或a＜-1）的條件下在區(qū)間（2，3）有解．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x³-3ax²+3x+1得f′（x）=3x²-6ax+3
當a=2時，f′（x）=3x²-6ax+3=3x²-12x+3=3（x²-4x+1）
由f′（x）=3（x²-4x+1）＞0得x＞2+

3

或x＜2-

3

；
由f′（x）=3（x²-4x+1）＜0得2-

3

＜x＜2+

3

；
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，2-

3

]和[2+

3

，+∞)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[2-

3

，2+

3

]
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-6ax+3，而f（x）在區(qū)間（2，3）中至少有一個極值點，
等價于方程3x²-6ax+3=0在其判別式△＞0（即a＞1或a＜-1）的條件下在區(qū)間（2，3）有解．
∴由3x²-6ax+3=0可得a=

1

2

（x+

1

x

），
令g（x）=

1

2

（x+

1

x

），求導函數(shù)可得g′（x）=

1

2

（1-

1

x2

），
∴g′（x）＞0在（2，3）上恒成立，即g（x）＞0在（2，3）上單調(diào)遞增，
∴

5

4

＜

1

2

（x+

1

x

）＜

5

3

，
解得

5

4

＜a＜

5

3

，
所以a的取值范圍是

5

4

＜a＜

5

3

．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是f（x）在區(qū)間（2，3）中至少有一個極值點轉(zhuǎn)化為方程f′（x）=0在其判別式△＞0（即a＞1或a＜-1）的條件下在區(qū)間（2，3）有解．