Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=

3

，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．
（Ⅰ）點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，求異面直線PC與DE所成角的余弦值；
（Ⅲ）求證：無(wú)論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有PE⊥AF．

Answer 1

分析：于（Ⅰ）由于F是PB的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，從而EF為三角形PBC的中位線，故EF∥PC，由線面平行的判定定理可以得到EF∥平面PAC；
對(duì)于（Ⅱ）由于本題出現(xiàn)了三個(gè)兩兩垂直的直線AD、AP、AB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P（0，0，1），C(

3

，1，0)，D(

3

，0，0)，E(

3

2

，1，0)．可以求得向量PC、DE的坐標(biāo)，用向量的夾角公式計(jì)算即可；
對(duì)于（Ⅲ）在解決（Ⅱ）的基礎(chǔ)上，繼續(xù)計(jì)算向量PE、AF的坐標(biāo)，求其內(nèi)積判斷即可．

解答：解：（Ⅰ）解：當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，EF與平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分別為BC、PB的中點(diǎn)，∴EF∥PC．
又EF?平面PAC，而PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．（4分）
（Ⅱ）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，1），C(

3

，1，0)，D(

3

，0，0)，E(

3

2

，1，0)．
則

PC

=(

3

，1，-1)，

DE

=(-

3

2

，1，0)cos＜

PC

，

DE

＞=

PC • DE

| PC || DE |

=

- 3 2 +1+0

5 × 7 2

=-

35

35

所以，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，異面直線PC與DE所成角的余弦值為

35

35

．（9分）
（Ⅲ）證明：依據(jù)（Ⅱ）所建立坐標(biāo)系，
則P（0，0，1），B（0，1，0），F(0，

1

2

，

1

2

)，D(

3

，0，0)．
設(shè)BE=x，則E（x，1，0），

PE

•

AF

=(x，1，-1)•(0，

1

2

，

1

2

)=0，
∴

PE

⊥

AF

．∴PE⊥AF．
所以，無(wú)論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有PE⊥AF．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定，異面直線垂直判定、異面直線所成角的求法，在適合建立空間坐標(biāo)系的情況下，轉(zhuǎn)化為用空間坐標(biāo)系中的向量法解決，較為簡(jiǎn)捷．