Question

某人玩擲正方體骰子走跳棋的游戲，已知骰子每面朝上的概率都是

1

6

，棋盤(pán)上標(biāo)有第0站，第1站，第2站，…，第100站．一枚棋子開(kāi)始在第0站，選手每擲一次骰子，棋子向前跳動(dòng)一次，若擲出朝上的點(diǎn)數(shù)為1或2，棋子向前跳一站；若擲出其余點(diǎn)數(shù)，則棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站（勝利大本營(yíng)）或第100站（失敗大本營(yíng)）時(shí)，該游戲結(jié)束．設(shè)棋子跳到第n站的概率為；{P_n-P_n-1}
（1）求P₀，P₁，P₂；
（2）求證：{P_n-P_n-1}為等比數(shù)列；
（3）求玩該游戲獲勝的概率．

Answer 1

分析：（1）棋子在0站是一個(gè)必然事件，得到發(fā)生的概率等于1，擲出朝上的點(diǎn)數(shù)為1或2，棋子向前跳一站；若擲出其余點(diǎn)數(shù)，則棋子向前跳兩站，根據(jù)正方體各個(gè)面出現(xiàn)的概率得到結(jié)果．
（2）由題意知連續(xù)三項(xiàng)之間的關(guān)系，根據(jù)得到的關(guān)系式，仿寫(xiě)一個(gè)關(guān)系式，兩個(gè)式子相減，構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列是連續(xù)兩項(xiàng)之比是一個(gè)常數(shù)，得到等比數(shù)列．
（3）寫(xiě)出所有的式子，把所有的式子相加，利用累加的方法消去中間項(xiàng)得到首項(xiàng)和末項(xiàng)之間的關(guān)系，得到玩該游戲獲勝的概率．

解答：解：（1）∵棋子在0站是一個(gè)必然事件，得到發(fā)生的概率等于1，
擲出朝上的點(diǎn)數(shù)為1或2，棋子向前跳一站；
若擲出其余點(diǎn)數(shù)，則棋子向前跳兩站，
棋子跳到第二站的概率時(shí)
∴P0=1，P1=

1

3

，P2=

7

9

（2）由題意知：Pn=

1

3

Pn-1+

2

3

Pn-2
∴Pn-Pn-1=-

2

3

(Pn-1-Pn-2)
∴數(shù)列{P_n-P_n-1}是首項(xiàng)為P1-P0=-

2

3

公比為-

2

3

的等比數(shù)列   
（3）由（2）知Pn-Pn-1=(-

2

3

)n由累和得 
P99=

3

5

[1-(

2

3

)100]
所以玩該游戲獲勝的概率為P99=

3

5

[1-(

2

3

)100]

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的實(shí)際應(yīng)用，是一個(gè)中檔題目，題目涉及到概率的計(jì)算，本題解題的關(guān)鍵是看出題目中要利用累加的方法．