Question

已知數(shù)列{a_n}的相鄰兩項a_n，a_n+1是關于X的方程．x²-3ⁿx+b_n=0的兩根，設c_n=

an

3n

，且a₁=1．
（I）求數(shù)列{c_n}的通項公式；
（II）設S_n是數(shù)列{a_n}的前〃項的和，問是否存在常數(shù)λ，使得b_n-λS_n＞0對任意n∈N都成立，若存在，求出A的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由于a_n，a_n+1是關于X的方程．x²-3ⁿx+b_n=0的兩根，所以

an+an+1=3n bn=an•an+1

從而得出數(shù)列{cn-

1

4

} 是首項為

1

12

，公比為-

1

3

的等比數(shù)列，故可求{c_n}的通項公式；
（II） 要使b_n-λS_n＞0，對?n∈N^*都成立，下面對n進行分類討論：①當n為正奇數(shù)時，②當n為正偶數(shù)時，分別求得λ的取值范圍，最后綜上所述得到，存在常數(shù)λ，使得b_n-λS_n＞0對?n∈N^*都成立，λ的取值范圍．

解答：解：（I）由于a_n，a_n+1是關于X的方程．x²-3ⁿx+b_n=0的兩根，所以

an+an+1=3n bn=an•an+1

，所以

an+1

3n+1

=-

1

3

•

an

3n

+

1

3

∵c_n=

an

3n

，∴cn+1=-

1

3

•cn+

1

3

，∴cn+1-

1

4

=-

1

3

•(cn-

1

4

)，又c1 -

1

4

=

1

12

，
所以列{cn-

1

4

} 是首項為

1

12

，公比為-

1

3

的等比數(shù)列，∴cn=

1

12

•(-

1

3

)n-1+

1

4

（II）由題意，an=3n•cn=

3n+(-1)n-1

4

，∴bn=

3n+(-1)n-1

4

•

3n+1+(-1)n

4

，Sn=

3n+1-(-1)n-2

8

①當n為正奇數(shù)時，由上式得λ＜

3n+1

2

對任意正奇數(shù)n都成立，∴λ＜2
②當n為正偶數(shù)時，由上式得λ＜

3n+1+1

6

對任意正偶數(shù)n都成立，∴λ＜

14

3

綜上所述得，存在常數(shù)λ，使得b_n＞λS_n對?n∈N^*都成立，λ的取值范圍為λ＜2

點評：本小題主要考查等比關系的確定、數(shù)列的求和、不等式的解法、數(shù)列與函數(shù)的綜合等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于中檔題．