【題目】已知函數(shù)
.
（1）當(dāng)
時，證明：
；
（2）當(dāng)
時，討論函數(shù)
的零點個數(shù).
【答案】（1）見解析；（2）見解析.
【解析】
（1）當(dāng)
時，求得
，
，結(jié)合
和
的符號，求得函數(shù)
的單調(diào)性，進而作出證明；
（2）先求得
是的一個零點，由
，，
分類、
和
三種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點的存在定理，即可求解.
（1）當(dāng)時，
，則，
可得，
當(dāng)
時，可得
，所以
，
所以在
單調(diào)遞減，所以
；
當(dāng)
時，
，所以
，
所以在
單調(diào)遞增，所以
，
所以在單調(diào)遞增，
，
綜上可得，
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
（2）當(dāng)時，
，所以是的一個零點，
由，，
（i）當(dāng)時，由（1）知僅有一個零點；
（ii）當(dāng)時，
①當(dāng)
時，
，
所以函數(shù)在
單調(diào)遞減，，
所以當(dāng)時，無零點，
②當(dāng)時，
，在（單調(diào)遞增，
因為
，
，
所以在上存在唯一
，使得
，
當(dāng)
時，
，在
單調(diào)遞減，
有
，所以在無零點.
當(dāng)
時，
，在
單調(diào)遞增，
又
，
設(shè)
（），
，
，
所以
在
遞增，有
，
所以
在遞增，有
，即
，
因此，在有1個零點，
所以當(dāng)時，有2個零點.
（iii）當(dāng)時，
①當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，
所以
，在單調(diào)遞增，，
所以在無零點
②當(dāng)
時，
，有
，
所以在
無零點
③當(dāng)
時，
，
，在
單調(diào)遞增，
又
，
，
所以存在唯一
，使得.
當(dāng)
時，，在
單調(diào)遞減，
當(dāng)
時，，在
單調(diào)遞增，
又
，
，所以在有1個零點，
所以當(dāng)時，有2個零點.
綜上所述，當(dāng)時，有1個零點；當(dāng)或時，有2個零點.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
的定義域為
，其中
，
.
（1）若
，判斷
的單調(diào)性；
（2）當(dāng)
，設(shè)函數(shù)
在區(qū)間
上恰有一個零點，求正數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)
，
時，證明：對于
，有
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
是有如下性質(zhì)：如果常數(shù)
，那么該函數(shù)在
上是減函數(shù)，在
上是增函數(shù)．
（1）如果函數(shù)
的值域為
，求b的值；
（2）研究函數(shù)
（常數(shù)
）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；
（3）對函數(shù)和（常數(shù)）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例．研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論，不必證明），并求函數(shù)
（n是正整數(shù)）在區(qū)間
上的最大值和最小值．（可利用你的研究結(jié)論）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】中國是茶的故鄉(xiāng)，也是茶文化的發(fā)源地.中國茶的發(fā)現(xiàn)和利用已有四千七百多年的歷史，且長盛不衰，傳遍全球.為了弘揚中國茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”，為了解每壺“金萱排骨茶”中所放茶葉量
克與食客的滿意率
的關(guān)系，通過試驗調(diào)查研究，發(fā)現(xiàn)可選擇函數(shù)模型
來擬合與的關(guān)系，根據(jù)以下數(shù)據(jù)：
茶葉量 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 4.34 | 4.36 | 4.44 | 4.45 | 4.51 |
可求得y關(guān)于x的回歸方程為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】中國是茶的故鄉(xiāng)，也是茶文化的發(fā)源地.中國茶的發(fā)現(xiàn)和利用已有四千七百多年的歷史，且長盛不衰，傳遍全球.為了弘揚中國茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”，為了解每壺“金萱排骨茶”中所放茶葉量
克與食客的滿意率
的關(guān)系，通過試驗調(diào)查研究，發(fā)現(xiàn)可選擇函數(shù)模型
來擬合與的關(guān)系，根據(jù)以下數(shù)據(jù)：
茶葉量 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 4.34 | 4.36 | 4.44 | 4.45 | 4.51 |
可求得y關(guān)于x的回歸方程為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】端午節(jié)是我國民間為紀(jì)念愛國詩人屈原的一個傳統(tǒng)節(jié)日.某市為了解端午節(jié)期間粽子的銷售情況，隨機問卷調(diào)查了該市1000名消費者在去年端午節(jié)期間的粽子購買量（單位：克），所得數(shù)據(jù)如下表所示：
購買量 |
|
|
|
|
|
人數(shù) | 100 | 300 | 400 | 150 | 50 |
將煩率視為概率
（1）試求消費者粽子購買量不低于300克的概率；
（2）若該市有100萬名消費者，請估計該市今年在端午節(jié)期間應(yīng)準(zhǔn)備多少千克棕子才能滿足市場需求（以各區(qū)間中點值作為該區(qū)間的購買量）.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
（
）上的兩個動點
和
，焦點為F.線段AB的中點為
，且A，B兩點到拋物線的焦點F的距離之和為8.
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若線段AB的垂直平分線與x軸交于點C，求
面積的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個紅球和2個白球，乙袋裝有2個紅球和n個白球．現(xiàn)從甲、乙兩袋中各任取2個球．
（1）若
，求取到的4個球全是紅球的概率；
（2）若取到的4個球中至少有2個紅球的概率為
，求n．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】2020年4月8日零時正式解除離漢通道管控，這標(biāo)志著封城76天的武漢打開城門了.在疫情防控常態(tài)下，武漢市有序復(fù)工復(fù)產(chǎn)復(fù)市，但是仍然不能麻痹大意仍然要保持警惕，嚴(yán)密防范、慎終如始.為科學(xué)合理地做好小區(qū)管理工作，結(jié)合復(fù)工復(fù)產(chǎn)復(fù)市的實際需要，某小區(qū)物業(yè)提供了A，B兩種小區(qū)管理方案，為了決定選取哪種方案為小區(qū)的最終管理方案，隨機選取了4名物業(yè)人員進行投票，物業(yè)人員投票的規(guī)則如下：①單獨投給A方案，則A方案得1分，B方案得﹣1分；②單獨投給B方案，則B方案得1分，A方案得﹣1分；③棄權(quán)或同時投票給A，B方案，則兩種方案均得0分.前1名物業(yè)人員的投票結(jié)束，再安排下1名物業(yè)人員投票，當(dāng)其中一種方案比另一種方案多4分或4名物業(yè)人員均已投票時，就停止投票，最后選取得分多的方案為小區(qū)的最終管理方案.假設(shè)A，B兩種方案獲得每1名物業(yè)人員投票的概率分別為
和
.
（1）在第1名物業(yè)人員投票結(jié)束后，A方案的得分記為ξ，求ξ的分布列；
（2）求最終選取A方案為小區(qū)管理方案的概率.
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