Question

已知中心在原點的雙曲線C的離心率為

2 3

3

，一條準(zhǔn)線方程為x=

3

2

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）若直線l：y=kx+

2

與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且

OA

•

OB

＞2（其中O為原點），求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由

c

a

=

2 3

3

，

a2

c

=

3

2

，得a=

3

，c=2，由此能求出雙曲線方程．
（2）由

y=kx+ 2 x2 3 -y2=1

，知(1-3k2)x2-6

2

kx-9=0．由直線l與雙曲線交于不同的兩點得

1-3k2≠0 △=(6 2 k)2+36(1-3k2)

=36（1-k²）=0，再由韋達定理結(jié)合題設(shè)條件進行求解．

解答：解：（1）∵

c

a

=

2 3

3

，

a2

c

=

3

2

，
∴a=

3

，c=2，
∴雙曲線方程為

x2

3

-y2=1．（4分）
（2）

y=kx+ 2 x2 3 -y2=1

，
∴（1-3k²）x²-6

2

kx-9=0，
由直線l與雙曲線交于不同的兩點得

1-3k2≠0 △=(6 2 k)2+36(1-3k2)

=36（1-k²）=0，
 即k²≠

1

3

，且k²＜1①（6分）
x₁+x₂=

6 2 k

1-3k2

，x1x2=

-9

1-3k2

，
由

OA

•

OB

＞2，得x₁x₂+y₁y₂＞2，
而x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+

2

)(kx2+

2)

=（k²+1）x₁x₂+

2

k(x1+x2)+2
=

3k2+7

3k2-1

．（8分）
于是

3k2+7

3k2-1

＞2，即

3k2-9

3k2-1

＜0，
∴

1

3

＜k2＜3，②（10分）
由①②得

1

3

＜k2＜1，
k∈(-1，-

3

3

)∪(

3

3

，1)．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．