Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M(cosx，2

3

)，N(2cosx，sinxcosx+

3

6

a)其中
x∈R，a為常數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)=

OM

•

ON

．
（1）求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式和最小正周期；
（2）若角C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角中的最大角且y=f（C）的最小值為0，求a的值；
（3）在（2）的條件下，試畫出y=f（x）（x∈[0，π]）的簡圖．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和兩角和的正弦公式，求出函數(shù)的解析式并進(jìn)行化簡，利用周期公式求出函數(shù)的最小正周期；
（2）根據(jù)三角形最大角的范圍求出2C+

π

6

的范圍，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)以及最小值求出a的值；
（3）根據(jù)（2）求出的函數(shù)解析式，以及對應(yīng)坐標(biāo)系中的標(biāo)出的自變量的值求出對應(yīng)的函數(shù)值，利用描點(diǎn)連線和正弦曲線，畫出函數(shù)的簡圖．

解答：解：（1）由題意知，f(x)=

OM

•

ON

則f(x)=2cos2x+2

3

(sinxcosx+

3

6

a)=cos2x+

3

sin2x+1+a
=2sin(2x+

π

6

)+a+1
∴T=π
（2）由角C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角中的最大角可得：

π

3

≤C＜π，2C+

π

6

∈[

5

6

π，

13

6

π)，
∴y=f(C)=2sin(2C+

π

6

)+a+1的最小值為2×（-1）+a+1=0，
則a=1．
（3）由（2）可知：y=f(x)=2sin(2x+

π

6

)+2，
依次求出f（0）=3，f（

π

6

）=4，f（

π

3

）=3，f（

π

2

）=1，f（

2π

3

）=0，f（

5π

6

）=1，f（π）=3．
在坐標(biāo)系中進(jìn)行描點(diǎn)連線，畫出函數(shù)的圖象（x∈[0，π]）：

點(diǎn)評：本題是向量和三角函數(shù)的綜合題，考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，綜合運(yùn)用知識和作圖能力．