Question

已知

OA

=

a

，

OB

=

b

，

a

•

b

=|

a

-

b

|=2，
（1）當(dāng)△AOB的面積最大時(shí)，求

a

與

b

的夾角θ；
（2）在（1）的條件下，判斷△AOB的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由面積公式得，S_△AOB=

1

2

|

a|

•|

b

|sinθ變形得S_△AOB=

1

2

(| a| •| b |) 2-4

，又由

a

•

b

=|

a

-

b

|=2，可解得

a

2+

b

2=8，由基本不等式求出|

a|

•|

b

|的最大值即可求出△AOB的面積最大值．及取到最大值時(shí)的夾角；
（2）在（1）的條件下，利用等號(hào)成立的條件求出角θ值，又兩鄰邊相等，可得三角形的形狀．

解答：解：（1）由面積公式得，S_△AOB=

1

2

|

a|

•|

b

|sinθ變形得S_△AOB=

1

2

(| a| •| b |) 2-4

，
又由

a

•

b

=|

a

-

b

|=2，平方整理可解得

a

2+

b

2=8，
 由基本不等式

a

2+

b

2=8≥2|

a|

•|

b

|，即|

a|

•|

b

|≤4等號(hào)當(dāng)|

a|

=|

b

|時(shí)成立
 故S_△AOB=

1

2

(| a| •| b |) 2-4

≤

1

2

42-4

=

3

此時(shí)有S_△AOB=

1

2

|

a|

•|

b

|sinθ=

3

得sinθ=

3

2

即

a

與

b

的夾角θ=60⁰
（2）在（1）的條件下，|

a|

=|

b

|，

a

與

b

的夾角θ=60⁰
  可知此三角形是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的運(yùn)算與三角形的面積公式，及知三角函數(shù)值求角．是一道典型的三角與向量結(jié)合的好題．