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          精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          
			
          
				
          【題目】已知函數，.
          （1）求函數的極大值.
          （2）當時，證明函數有且只有一個零點.
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          【答案】(1) 當或時, 無極大值；
          當時的極大值為.
          當時的極大值為
          【解析】
          (1)求導得,再討論與1的關系判定即可.
          (2)根據函數的單調性以及極大值,結合單調性即可轉證,有解.參變分離可得,再分析的單調性求出值域即可判定有唯一解即可.
          (1) .令可得.
          ①當時,易得,故當時,；當時,.
          故在上單調遞減,在上單調遞增,此時無極大值.
          ②當時, 當時, ；當時,與.
          故在上單調遞減,在,上單調遞增.故函數的極大值為.
          ③當時, 恒成立. 此時無極大值.
          ④當時, 當時, ；當時,與.
          故在上單調遞減,在,上單調遞增.故函數的極大值為.
          綜上所述, 當或時, 無極大值；
          當時的極大值為.
          當時的極大值為
          (2)由(1),當時,在上單調遞減,在,上單調遞增.
          且極大值為.故當時,.故在無零點.
          又因為在上單調遞增,故要證明函數有且只有一個零點,即證明,有解即可.
          參變分離有,令,
          則.
          因為,故考慮的正負.
          又,.
          故為增函數.
          又,故,即.
          故,故為增函數.故.
          故.故當時恒有解.
          即有且僅有一根.得證.
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          【題目】已知，分別是的邊，上的一點，，將沿折起為，使點位于點的位置，連接，，.
          （1）若，分別是，的中點，平面與平面的交線為，證明：；
          （2）若平面平面，與的面積分別為4和9，，求三棱錐的體積.
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          【題目】2019年底，北京2022年冬奧組委會啟動志愿者全球招募，僅一個月內報名人數便突破60萬，其中青年學生約有50萬人.現從這50萬青年學生志愿者中，按男女分層抽樣隨機選取20人進行英語水平測試，所得成績(單位:分)統(tǒng)計結果用莖葉圖記錄如下:
          (Ⅰ)試估計在這50萬青年學生志愿者中，英語測試成績在80分以上的女生人數;
          (Ⅱ)從選出的8名男生中隨機抽取2人，記其中測試成績在70分以上的人數為X，求的分布列和數學期望;
          (Ⅲ)為便于聯(lián)絡，現將所有的青年學生志愿者隨機分成若干組(每組人數不少于5000)，并在每組中隨機選取個人作為聯(lián)絡員，要求每組的聯(lián)絡員中至少有1人的英語測試成績在70分以上的概率大于90%.根據圖表中數據，以頻率作為概率，給出的最小值.(結論不要求證明)
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          【題目】超級病菌是一種耐藥性細菌，產生超級細菌的主要原因是用于抵抗細菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對相應的抗生素產生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對它起不到什么作用，病人會因為感染而引起可怕的炎癥，高燒、痙攣、昏迷直到最后死亡.某藥物研究所為篩查某種超級細菌，需要檢驗血液是否為陽性，現有n（）份血液樣本，每個樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗方式：
          （1）逐份檢驗，則需要檢驗n次；
          （2）混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數總共為次，假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為p（）.
          （1）假設有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗方式，求恰好經過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率；
          （2）現取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為.
          （i）試運用概率統(tǒng)計的知識，若，試求p關于k的函數關系式；
          （ii）若，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數的期望值比逐份檢驗的總次數期望值更少，求k的最大值.
          參考數據：，，，，
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          【題目】記表示m，n中的最大值，如.已知函數，.
          （1）設，求函數在上的零點個數；
          （2）試探討是否存在實數，使得對恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，說明理由.
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          【題目】如圖，為矩形的邊上一點，且，將沿折起到，使得.


          （1）證明：平面平面；
          （2）若，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          【題目】已知函數.
          （1）若在處的切線與軸平行，求的極值；
          （2）當或時，試討論方程實數根的個數.
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          【題目】已知函數f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a為常數，且曲線y=f（x）在其與y軸的交點處的切線記為l1，曲線y=g（x）在其與x軸的交點處的切線記為l2，且l1∥l2．
          （1）求l1，l2之間的距離；
          （2）若存在x使不等式成立，求實數m的取值范圍；
          （3）對于函數f（x）和g（x）的公共定義域中的任意實數x0，稱|f（x0）-g（x0）|的值為兩函數在x0處的偏差．求證：函數f（x）和g（x）在其公共定義域內的所有偏差都大于2．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          【題目】選修4-5：不等式選講
          設函數．
          （1）證明：；
          （2）若不等式的解集是非空集，求的范圍．
          

			
          

			
          
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