Question

【題目】已知橢圓，為左焦點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，若，拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為.

（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在過點(diǎn)的直線，與和交點(diǎn)分別是和，使得？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】分析：（1）由題設(shè)有，再根據(jù)可得的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）因?yàn)?/span>，故，設(shè)直線方程為，分別聯(lián)立直線與橢圓、直線與拋物線的方程，消去后利用韋達(dá)定理用表示，解出后即得直線方程.

詳解：（1）依題意可知，即，

由右頂點(diǎn)為得，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）依題意可知的方程為，假設(shè)存在符合題意的直線，

設(shè)直線方程為，，

聯(lián)立方程組，得，

由韋達(dá)定理得，則，

聯(lián)立方程組，得，由韋達(dá)定理得，所以，

若，則，即，解得，

所以存在符合題意的直線方程為或.