Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E為PC的中點(diǎn)．
求證：
（1）PA∥平面BDE；
（2）AC⊥平面PBD．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AC∩BD=H，連接EH，根據(jù)線面平行的判定定理，只需證明PA∥EH；
（2）根據(jù)線面垂直的判定定理，只需證明AC⊥PD，AC⊥BD．

解答：證明：（1）設(shè)AC∩BD=H，連接EH，
因?yàn)镠為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，所以H為AC中點(diǎn)，
又E為PC中點(diǎn)，
所以EH為△PAC中位線，
EH∥PA，
EH?平面BDE，PA?平面BDE，
所以PA∥平面BDE．
（2）因?yàn)锳C、BD為正方形ABCD的對(duì)角線，
所以AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以PD⊥AC，
又PD∩BD=D，
所以AC⊥平面PDB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行、線面垂直的判定，相關(guān)判定定理是解決該類問(wèn)題的基礎(chǔ)．