Question

已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(-

3

，0)， F2(

3

，0)，P為橢圓上一點(diǎn)，且|PF₁|+|PF₂|=4
（1）求此橢圓方程．
（2）若∠F1PF2=

π

3

，求△F₁PF₂的面積（要有詳細(xì)的解題過程）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可求得a和c，進(jìn)而根據(jù)b，a和c的關(guān)系，則b可得，進(jìn)而求得橢圓的方程．
（2）由余弦定理結(jié)合橢圓的定義，經(jīng)整體運(yùn)算可求得|PF₁|•|PF₂|的值，進(jìn)而求其面積．

解答：解：（1）依題意得c=

3

，2a=4，
解得a=2，c=

3

，從而b=1．
故橢圓的方程為

x2

4

+

y2

1

=1．
（2）在△F₁PF₂中，由余弦定理得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos60°，
∴|PF1|2+|PF2|2-|PF1|•|PF2|=(2c)2=(2

3

)2=12 ①
又|PF₁|+|PF₂|=2a=4，平方得|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=16，=2 ②，
②-①得3|PF₁|•|PF₂|=4，即 |PF1|•|PF2|=

4

3

，
∴△F₁PF₂的面積 S=

1

2

|PF1|•|PF2|sin60°=

3

3

．
∴∠F1PF2=

π

3

，△F₁PF₂的面積

3

3

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，以及用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法．還考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力．本題將圓錐曲線與三角問題巧妙的交匯在一起，事實(shí)上，在橢圓中S=b²tanθ，同理可求得在雙曲線中 S=

b2

tanθ

（其中 θ=

∠F1PF2

2

）．