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        1. (2012•臨沂二模)已知函數(shù)f(x)=ax-
          1
          x
          -(a+1)lnx(a<1).
          (Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (Ⅱ)若0<a<
          1
          e
          ,試證對區(qū)間[1,e]上的任意x1、x2,總有成立|f(x1)-f(x2)|
          1
          e
          分析:(Ⅰ)求導函數(shù),對a分類討論,利用導數(shù)的正負,即可求得f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (Ⅱ)確定函數(shù)在區(qū)間[1,e]上的最值,化簡即可得到結(jié)論.
          解答:(Ⅰ)解:f′(x)=
          ax-a-1
          x
          ,x>0
          ∴當0<a<1時,令f′(x)>0得x>1+
          1
          a
          ,令f′(x)<0得0<x<1+
          1
          a
          ,
          此時f(x)的增區(qū)間為(1+
          1
          a
          ,+∞),減區(qū)間為(0,1+
          1
          a
          );
          當a=0時,f′(x)=-
          1
          x
          <0,f(x)在定義域上遞減;
          當a<0時,令f′(x)>0得0<x<1+
          1
          a
          ,令f′(x)<0得x>1+
          1
          a
          ,
          此時f(x)的減區(qū)間為(1+
          1
          a
          ,+∞),增區(qū)間為(0,1+
          1
          a
          );
          (Ⅱ)證明:由已知,a∈(0,1),由(Ⅰ)知,此時f(x)的減區(qū)間為(0,1+
          1
          a
          ),
          1
          a
          ∈(e,+∞),1+
          1
          a
          >e
          ∴f(x)在[1,e]上遞減,最大值為f(1)=a-
          1
          a
          ,最小值為f(e)=ae-
          1
          a
          -a-1,
          所以對任意x1、x2,總有|f(x1)-f(x2)|<f(1)-f(e)=(2-e)a+1<(2-e)•
          1
          e
          +1=
          2
          e

          即|f(x1)-f(x2)|<
          2
          e
          點評:本題考查導數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查分類討論的數(shù)學思想,考查函數(shù)的最值,屬于中檔題.
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          2
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          NA
          NB
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          1
          64
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