Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面A₁ABB₁⊥BC，且A₁C與底面成45°角，AB=BC=2，則該棱柱體積的最小值為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   4
4. D.
   3

Answer 1

C
分析：過A₁作A₁H⊥AB，垂足為H，連接HC，可以證出A₁H⊥面ABC，A₁H為三棱柱的高，∠A₁HC為 A₁C與底面成角，∠A₁HC=45°，A₁H為三棱柱的高與CH相等，而當(dāng)CH⊥AB，即CH與CB重合時(shí)取得最�。�
解答：解：過A₁作A₁H⊥AB，垂足為H，連接HC，
∵側(cè)面A₁ABB₁⊥BC，A₁H?面A₁ABB₁，∴BC⊥A₁H，
∵AB∩BC=B，∴A₁H⊥面ABC，
A₁H為三棱柱的高．HC為A₁C在底面上的射影，
∠A₁HC為 A₁C與底面成角，∠A₁HC=45°，
∴△A₁HC 為等腰直角三角形，A₁H=CH，
當(dāng)CH最小時(shí)，三棱柱的高最小，從而該棱柱體積最�。�
而當(dāng)CH⊥AB，即CH與CB重合時(shí)，取得最小值2
此時(shí)V=S_△ABC×A₁H=×AB×BC×A₁H=×2×2×2=4
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直關(guān)系的應(yīng)用、判定．線面角的意義，體積的計(jì)算．考查空間想象能力、轉(zhuǎn)化、計(jì)算、推理論證能力．