Question

已知拋物線x²=2py（p＞0）與直線交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點．
（I）當(dāng)k=1時，求線段AB的長；
（II）當(dāng)k在R內(nèi)變化時，求線段AB中點C的軌跡方程；
（III）設(shè)l是該拋物線的準(zhǔn)線．對于任意實數(shù)k，l上是否存在點D，使得？如果存在，求出點D的坐標(biāo)；如不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：將知拋物線x²=2py（p＞0）與直線聯(lián)立．
（Ⅰ）當(dāng)k=1時，代入可求AB=4p；
（Ⅱ）設(shè)線段AB中點C的坐標(biāo)為（x，y），則當(dāng)k變化時，，消去k，可得點C的軌跡方程．       
（Ⅲ）假設(shè)在l上存在一點，使，結(jié)合x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，y₁+y₂=2pk²+p，，可知對于任意實數(shù)k，在l上存在點，使得．
解答：解：設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意得，∴x²-2pkx-p²=0，∴x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，∴y₁+y₂=2pk²+p，
（Ⅰ）當(dāng)k=1時，，∴AB=4p
（Ⅱ）設(shè)線段AB中點C的坐標(biāo)為（x，y），則當(dāng)k變化時，，消去k，得．
即點C的軌跡方程為．       
（Ⅲ）拋物線x²=2py（p＞0）的準(zhǔn)線l的方程為
假設(shè)在l上存在一點，使，則有 ①
將x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，y₁+y₂=2pk²+p，，代入①式，整理得（x-pk）²=0，∴x=pk．
∴對于任意實數(shù)k，在l上存在點，使得．
點評：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查軌跡問題，同時考查存在性問題，有一定的難度．