Question

【題目】已知函數(shù)與的圖象在點(diǎn)處有相同的切線．

（Ⅰ）若函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)， ，且，證明： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）證明過程見解析；

【解析】（Ⅰ）首先根據(jù)兩函數(shù)在某點(diǎn)處有相同的切線，建立關(guān)于兩函數(shù)解析式中參數(shù)的方程，求得兩函數(shù)的解析式，再由題意構(gòu)造新函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的單調(diào)性與最值問題進(jìn)行求解；（Ⅱ）由題意，可將問題轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)根，再根據(jù)其函數(shù)的單調(diào)性，從而證明不等式立.

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>， ，根據(jù)題意，得解得

所以．　

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

所以，

又因?yàn)?/span>→時(shí)， →；當(dāng)→時(shí)， →，

故欲使兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，只需， ，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（Ⅱ）由題意，函數(shù)，其定義域?yàn)?/span>，

，

令，得，其判別式，

函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)， ，等價(jià)于方程在內(nèi)有兩不等實(shí)根，又，故．

所以，且， ，

，

令， ，

則，

由于，∴，故在上單調(diào)遞減．

故．

所以，

所以．