Question

【題目】如圖，P是直線(xiàn)x=4上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的圓Γ經(jīng)定點(diǎn)B（1，0），直線(xiàn)l是圓Γ在點(diǎn)B處的切線(xiàn)，過(guò)A（﹣1，0）作圓Γ的兩條切線(xiàn)分別與l交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．

（1）求證：|EA|+|EB|為定值；

（2）設(shè)直線(xiàn)l交直線(xiàn)x=4于點(diǎn)Q，證明：|EB||FQ|=|BF|EQ|．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）由切割線(xiàn)定理得EM=EB，其中AE切圓于M，再根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)公式得|EA|+|EB|為定值4（2）由橢圓定義可得E,F 均在橢圓 上，由弦長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)|EB||FQ|=|BF||EQ|得，設(shè)直線(xiàn)EF方程與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理得，即證成立

試題解析：（1）設(shè)AE切圓于M，直線(xiàn)x=4與x軸交于N，則EM=EB

所以

(2)同理FA+FB=4，所以E,F 均在橢圓 上，設(shè)EF: ,則

與橢圓方程聯(lián)立得

，結(jié)論成立