Question

設函數(shù)f（x）=（x-1）²+blnx，其中b為常數(shù)．
（1）當b＞

1

2

時，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）的有極值點，求b的取值范圍及f（x）的極值點；
（3）求證對任意不小于3的正整數(shù)n，不等式

1

n2

＜ln(n+1)-lnn＜

1

n

都成立．

Answer 1

分析：（1）首先函數(shù)的定義域為（0，+∞），然后求出函數(shù)的導數(shù)f′（x），將f′（x）變形為

2(x- 1 2 )2+b- 1 2

x

，再結合x＞0和b＞

1

2

得f′（x）＞0，可得函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）方程f′(x)=

2x2-2x+b

x

=0在（0，+∞）有兩個不相等的實數(shù)根時，函數(shù)有極值．然后利用根的判別式算得當b＜

1

2

時，函數(shù)存在極值點，最后根據(jù)b≤0和0＜b＜

1

2

兩種情況分別得出函數(shù)的極值點；
（3）由（2）可知當b=-1時，函數(shù)f（x）=（x-1）²-lnx，利用其單調(diào)性，取自變量x=1+

1

n

，可以證出n≥3時有l(wèi)n（n+1）-lnn＞

1

n2

成立，再設出函數(shù)h（x）=（x-1）-lnx，用類似的方法得出n≥3時ln(n+1)-lnn=ln

n+1

n

＜

1

n

ln(n+1)-lnn=ln(1+ 1 n )＜ 1 n

成立，兩者相結合可得對任意不小于3的正整數(shù)n，不等式

1

n2

＜ln(n+1)-lnn＜

1

n

都成立．

解答：解：（1）由題意知，f（x）的定義域為（0，+∞），
f′(x)=2x-2+

b

x

=

2x2-2x+b

x

=

2(x- 1 2 )2+b- 1 2

x

(x＞0)
∴當b＞

1

2

時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）①由（Ⅰ）得，當b＞

1

2

時，函數(shù)f（x）在定義域上無極值點．
②b=

1

2

時，f′(x)=

(2x-1)2

2x

=0有兩個相同的解x=

1

2

，
但當x∈（0，

1

2

）時，f'（x）＞0；
當x∈（

1

2

，+∞）時，f'（x）＞0，
∴當b=

1

2

時，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上無極值點．
③當b＜

1

2

時，f'（x）=0有兩個不同解，x1=

1

2

-

1-2b

2

，x2=

1

2

+

1-2b

2

∴（i）b≤0時，x1=

1

2

-

1-2b

2

≤0∉（0，+∞），舍去，而x2=

1

2

+

1-2b

2

≥1∈（0，+∞），
此時f'（x），f（x）隨x在定義域上的變化情況如表：

x	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	減	極小值	增

由此表可知：∵b≤0時，f（x）有惟一極小值點，x=

1

2

+

1-2b

2

，
（ii）當0＜b＜

1

2

時，0＜x₁＜x₂＜1
此時，f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

由此表可知：0＜b＜

1

2

時，f（x）有一個極大值x1=

1

2

-

1-2b

2

和一個極小值點x2=

1

2

+

1-2b

2

；
綜上所述：當且僅當b＜

1

2

時f（x）有極值點；
當b≤0時，f（x）有惟一最小值點，x=

1

2

+

1-2b

2

；
當0＜b＜

1

2

時，f（x）有一個極大值點x=

1

2

-

1-2b

2

和一個極小值點x=

1

2

+

1-2b

2

（3）由（2）可知當b=-1時，函數(shù)f（x）=（x-1）²-lnx，
此時f（x）有惟一極小值點x=

1

2

+

1-2b

2

=

1+ 3

2

且x∈(0，

1+ 3

2

)時，f'（x）＜0，f（x）在（0，

1+ 3

2

）為減函數(shù)
∵當n≥3時，0＜1＜1+

1

n

≤

4

3

＜

1+ 3

2

，
∴恒有f（1）＞f（1+

1

n

），即恒有0＞

1

n2

-ln(1+

1

n

)
∴當n≥3時恒有l(wèi)n（n+1）-lnn＞

1

n2

成立
令函數(shù)h（x）=（x-1）-lnx（x＞0）則h'（x）=1-

1

x

=

x-1

x

∴x＞1時，h'（x）＞0，又h（x）在x=1處連續(xù)
∴x∈[1，+∞）時h（x）為增函數(shù)
∵n≥3時1＜1+

1

n

∴h（1+

1

n

）＞h（1），即

1

n

-ln(1+

1

n

)＞0
∴l(xiāng)n（n+1）-lnn=ln（1+

1

n

）＜

1

n

綜上述可知n≥3時，恒有

1

n

＞ln（n+1）-lnn＞

1

n2

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和含有字母參數(shù)的函數(shù)極值的討論，屬于難題．