Question

已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為（-2，0），焦點(diǎn)在x軸上，且離心率為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）斜率為1的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積最大時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓方程為，由題意得．由此能求出所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）將直線l：y=x+b代入橢圓中有3x²+4bx+2b²-4=0，由根的判別式求出b的取值范圍，再由韋達(dá)定理求出，然后由點(diǎn)O到直線l的距離求出△AOB的面積，由此能求出所求的直線方程．
解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為，由題意得
∴∴b²=a²-c²=2所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）將直線l：y=x+b代入橢圓中有3x²+4bx+2b²-4=0
由△=（4b）²-4×3（2b²-4）=-8b²+48＞0得
由韋達(dá)定理得∴
又點(diǎn)O到直線l的距離∴
∴當(dāng)b²=3（滿足）時(shí)，S_△ABC有最大值．此時(shí)
∴所求的直線方程為
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線圓錐曲線的位置關(guān)系和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的合理選用．